射或吸收一定频率的光子，光子的能量由这种定态的能量差决定，即

=E₂-E₁

4．10．2、天体运动的轨道与能量

若M天体固定，m天体在万有引力作用下运动，其圆锥曲线可能是椭圆(包括圆)、抛物线或双曲线。

i)椭圆轨道

如图4-7-1所示，设椭圆轨道方程为

　　 (a>b)

则椭圆长，短半轴为a、b，焦距，近地点速度，远地点速度，则有

或由开普勒第二定律：

　

可解得

代入E得

ii)抛物线

设抛物线方程为

太阳在其焦点()处，则m在抛物线顶点处能量为

可以证明抛物线顶点处曲率半径，则有得到

抛物线轨道能量

　 iii)双曲线

设双曲线方程为

焦距，太阳位于焦点(C，0)，星体m在双曲线正半支上运动。如图4-10-3所示，其渐近线OE方程为y=bx/a，考虑m在D处与无穷远处关系，有

考虑到当，运动方向逼近渐近线，焦点与渐近线距为

故有

　 或　

联解得

双曲线轨道能量

小结

　　　　 椭圆轨道

　 　　　　　　　 抛物线轨道

　　　　 双曲线轨道

以下举一个例子

质量为m的宇宙飞船绕地球中心0作圆周运动，已知地球半径为R，飞船轨道半径为2R。现要将飞船转移到另一个半径为4R的新轨道上，如图4-10-4所示，求

(1)转移所需的最少能量；

(2)如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的，如图中的ACB所示，则飞船在两条轨道的交接处A和B的速度变化各为多少？

解: (1)宇宙飞船在2R轨道上绕地球运动时，万有引力提供向心力，令其速度为，乃有

　　　　　　

故得　　

　

此时飞船的动能和引力势能分别为

所以飞船在2R轨道上的机械能为

同理可得飞船在4R轨道上的机械能为

　　　　　　　　　

以两轨道上飞船所具有的机械能比较，知其机械能的增量即为实现轨道转移所需的最少能量，即

　　　　　　　　

(2)由(1)已得飞船在2R轨道上运行的速度为

　　　　　　　　　　

同样可得飞船4R轨道上运行的速度为

　　　　　　　　　　

设飞船沿图示半椭圆轨道ACB运行时，在A、B两点的速度分别为。则由开普勒第二定律可得

　　　　　

又由于飞船沿此椭圆轨道的一半运行中机械能守恒，故应有

联立以上两式解之可得

故得飞船在A、B两轨道交接处的速度变化量分别为

　 例如：三个钢球A、B、C由轻质的长为的硬杆连接，竖立在水平面上，如图4-10-5所示。已知三球质量，，距离杆处有一面竖直墙。因受微小扰动，两杆分别向两边滑动，使B球竖直位置下降。致使C球与墙面发生碰撞。设C球与墙面碰撞前后其速度大小不变，且所有摩擦不计，各球的直径都比小很多，求B球落地瞬间三球的速度大小。

　 解：　

(1)球碰墙前三球的位置

　 视A、B、C三者为一系统，A、C在水平面上滑动时，只要C不与墙面相碰，则此系统不受水平外力作用，此系统质心的水平坐标不发生变化。以图4-10-6表示C球刚好要碰墙前三球的位置，以表示此时BC杆与水平面间的夹角，则AB杆与水平面间的夹角也为，并令BA杆上的M点与系统质心的水平坐标相同，则应有

故得　　 ①

由上述知M点的水平坐标应与原来三秋所在的位置的水平坐标相同，故知此刻M点与右侧墙面的距离即为，即M点与C球的水平距离为，由此有，即

。

由上式解得，故有　　　　　 ②

(2)求三球碰墙前的速度

　 由于碰墙前M点的水平坐标不变，则在A、C沿水平面滑动过程中的任何时刻，由于图中的几何约束，C点与M点的水平距离总等于A点与M点的水平距离的倍，可见任何时刻C点的水平速度大小总为A点水平速度大小的倍。以、、分别表示图5-2-2中三球的速度，则有

　　　　　　　　　　 ③

又设沿BC方向的分量为，则由于和分别为杆BC两端的小球速度，则此两小球速度沿着杆方向的投影应该相等，即

。

再设沿BA方向的分量为，同上道理可得

　

注意到BA与BC两个方向刚好互相垂直，故得的大小为

以②③两式带入上式，乃得

　　　　　　　　 ④

　 由于系统与图5-2-1状态到图5-2-2状态的机械能守恒，乃有

。

以①~④式代入上式。解方程知可得

　　　　　 ⑤

(3)求C球在刚碰墙后三球的速度

　 如图4-10-8所示，由于C球与墙碰撞，导致C球的速度反向而大小不变，由于杆BC对碰撞作用力的传递，使B球的速度也随之变化，这一变化的结果是：B球速度沿CB方向的分量与C球速度沿CB方向的分量相等，即

　　　　 ⑥

由于BC杆只能传递沿其杆身方向的力，故B球在垂直于杆身方向(即BA方向)的速度不因碰撞而发生变化，A球的速度也不因碰撞而发生变化，即其仍为。故得此时B球速度沿BA方向的分量满足

，　　　　　　　　　 ⑦

乃得刚碰撞后B球速度大小为

　　　 ⑧

(4)求B球落地时三球的速度大小

　 碰撞后，三球速度都有水平向左的分量，可见此后系统质心速度在水平方向的分量应该方向向左，且由于此后系统不受水平外力，则应维持不变。由上解得的三球速度，可得应该满足

。

以③、⑤、⑥、⑦诸式代入上式可解得

　　　　　　 ⑨

　 当B球落地时，A、B、C三小球均在同一水平线上，它们沿水平方向的速度相等，显然，这一速度也就是系统质心速度的水平分量。而B小球刚要落地时，A、C两球的速度均沿水平方向(即只有水平分量)，B球的速度则还有竖直分量，以_落表示此刻B球速度的大小。则由图4-10-8所示的状态到B小球刚要落地时，系统的机械能守恒，由此有

以⑨、⑧、⑤各式代入上式可解得

_落=　　　　 ⑩

　 综合上述得本题答案为：当B小球刚落地时，A、B、C三球的速度大小分别为

、、和。

4．10．1、天体运动的机械能守恒

二体系统的机械能E为系统的万有引力势能与各天体的动能之和。仅有一个天体在运动时，则E为系统的万有引力势能与其动能之和。由于没有其他外力作用，系统内万有引力属于保守力，故有机械能守恒，E为一恒量，如图4-10-1所示，设M天体不动，m天体绕M天体转动，则由机械动能守恒，有

当运动天体背离不动天体运动时，不断增大，而将不断减小，可达无穷远处，此时而≥0，则应满足E≥0，即

例如从地球发射人造卫星要挣脱地球束缚必有

我们称=11.2km/s为第二宇宙速度，它恰为第一宇宙速度为倍。

另外在上面的二体系统中，由于万有引力属于有心力，所以对m而言，遵循角动量守恒

　　　　

或　　　

方向的夹角。它实质可变换得到开普勒第二定律，即行星与恒星连线在相等时间内扫过面积等。

4．9．3、质心的动能与质点组的动能

以二个质点为例，质量、两质点相对于静止参照系速度、，质心C的速度，二质点相对于质心速度是和，可以证明有

　　　　　　　

即二个质点的总动能等于质心的动能与两质点相对质心动能之和。

§4．10天体的运动与能量

4．9．2、质心的速度、加速度、动量

质心速度，在空间直角坐标系中，质心速度可表达为

质心的动量，质心的动量等于质点组中各个质点动量的矢量和。

质心的加速度

由上式可见，当质点组所受合外力为零时，质心将保持静止状态或匀速直线运动状态。

同样，质点组的动量定理也可表述为

外力的冲量的矢量和等于质心动量的增量。

4．9．1 质心及质心位置

　 任何一个质点系中都存在着一个称为质心的特殊点，它的运动与内力无关，只取决于外力。当需要将质点组处理成一个质点时，它的质量就是质点组的总质量。当需要确定质心的运动时，就设想把质点组所受的全部外力集中作用在质心上。

　 注意：质心是一个假想的质点。

设空间有N个质点，其质量、位置分别记作、，质量组质心记为C，则质量、位置。

　 在、、直角坐标系中，记录质心的坐标位置为

4．7．2 机械能守恒定律

　　 若外力的与非保守内力的功之和为零时，则系统机械能守恒，这就是机械能守恒定律。

　 注意：该定律只适用于惯性系，它同时必须是选择同一惯性参照系。在机械能守恒系统中，由于保守内力做功，动能和势能相互转化，而总的机械能则保持不变。

下面介绍一例由机械能守恒推出的重要定理：伯努利方程

理想流体　 不可压缩的、没有粘滞性的流体，称为理想流体。

定常流动　 观察一段河床比较平缓的河水的流动，你可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化。河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变。河水的这种流动就是定常流动。流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变，这样的流动就叫做定常流动。自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以看做定常流动。流体的流动可以用流线形象地表示。在定常流动中，流线表示流体质点的运动轨迹。图4-7-2是液体流过圆柱体时流线的分布。A、B处液体流过的横截面积大，CD处液体流过的横截面积小。液体在CD处流得急，流速大。AB处的流线疏，CD处的流线密，这样，从流线的分布可以知道流速的大小。流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流速大。

伯努利方程　 现在研究理想流体做定常流动时流体中压强和流速的关系。

图4-7-3表示一个细管，其中流体由左向右流动。在管的处和处用横截面截出一段流体，即处和处之间的流体，作为研究对象。

　 处的横截面积为，流速为，高度为，处左边的流体对研究对象的压强为，方向垂直于向右。

　 处的横截面积为，流速为，高度为，处左边的流体对研究对象的压强为，方向垂直于向左。

　　 经过很短的时间间隔，这段流体的左端由移到。右端由移到。两端移动的距离分别为和。左端流入的流体体积为，右端流出的流体体积为，理想流体是不可压缩的，流入和流出的体积相等，，记为。

　　 现在考虑左右两端的力对这段流体所做的功。

作用在液体左端的力，所做的功

。

作用在右端的力，所做的功

。

外力所做的总功

　　　　 (1)

　 外力做功使这段流体的机械能发生改变。初状态的机械能是到这段流体的机械能，末状态的机械能是到这段流体的机械能。由到这一段，经过时间，虽然流体有所更换，但由于我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度和各点的流速没有改变，动能和重力势能都没有改变，所以这一段的机械能没有改变，这样机械能的改变就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能。

　 由于，所以流入的那部分流体的动能为　 　

　　　　　　　　　

重力势能为

流出流体的动能为　

　　　　　

重力势能为

机械能的改变为

　　 (2)

　 理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能不会转化为内能，所以这段流体两端受的力所做的总功W等于机械能的改变

，即 W=　　　　　　　　　　 (3)

将(1)式和(2)式代入(3)式，得

　

整理后得

　 (4)

和是在流体中任意取的，所以上式可表示为对管中流体的任意处：

　常量　　　 (5)

(4)式和(5)式称为伯努利方程。

　 流体水平流动时，或者高度差的影响不显著时(如气体的流动)，伯努利方程可表达为

常量　　　　　　　　　 (6)

　 从(6)式可知，在流动的流体中，压强跟流速有关，流速v大的地方要强p小，流速v小的地方压强p大。

知道压强和流速的关系，就可以解释本节开始所做的实验了。经过漏斗吹乒乓球时，乒乓球上方空气的流速大，压强小，下方空气的压强大，乒乓球受到向上的力，所以会贴在漏斗上不会掉下来。向两张纸中间吹气，两张纸中间空气的流速大，压强小，外边空气的压强大，所以两张纸将互相贴近。同样的道理，两艘并排的船同向行驶时(图4-7-4)如果速度较大，两船会互相靠近，有相撞的危险。历史上就曾经发生过这类事故。在航海中。对并排同向行驶的船舶，要限制航速和两船的距离。

伯努利方程的应用：

　球类比赛中的旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球周围空气流动情况不同造成的。图4-7-5甲表示不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。现在考虑球的旋转，致使球的下方空气的流速增大，上方流速减小，周围空气流线如图乙所示。球的下方流速大，压强小，上方流速小，压强大。跟不转球相比，图4-1-6乙所示旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。

　 例：如图4-7-6所示，用一弹簧把两物块A和B连接起来后，置于水平地面上。已知A和B的质量分别为和。问应给物块A上加多大的压力F，才可能在撤去力F后，A向上跳起后会出现B对地无压力的情况？弹簧的质量略去不计。

设弹簧原长为，建立如图4-7-7所示的坐标，以k表示弹簧的劲度系数，则有 　　　①

取图中O点处为重力势能零点，当A受力F由O点再被压缩了x时，系统的机械能为

　　　 　②　

撤去F当A上升到最高处即弹簧较其自然长度再伸长时，系统的机械能为

　 ③　

A在x处时，其受力满足

　，

以①式的代入上式，乃有

　　　　 ④

当F撤去A上升到处时，弹簧的弹力大小为，设此时B受到地面的支持力为N，则对于B应有

　

要B对地无压力，即N=0，则上式变为

　　　　　　　　　　　　　 ⑤

因为A由x处上升至处的过程中，对此系统无外力和耗散力作功，则其机械能守恒，即

=　　　　　　　　　　　 ⑥

联立解②~⑥式，可得

。

　 显然，要出现B对地无压力的情况，应为≥(。当F=(时，刚好能出现B对地无压力的情况，但B不会离开地面；当F＞(时，B将出现离开地面向上跳起的情况。

§4．8 碰撞

　 质量和的两个物块，在直线上发生对心碰撞，碰撞前后速度分别为和及和，碰撞前后速度在一条直线上，由动量守恒定律得到

根据两物块在碰撞过程中的恢复情况，碰撞又可分类为下列几种

(1)弹性碰撞

在碰撞过程中没有机械能损失的碰撞称为弹性碰撞，由动能守恒有

结合动量守恒解得

对上述结果可作如下讨论

①，则，，即交换速度。

②若＞＞，且有=0，则，即质量大物速度几乎不变，小物以二倍于大物速度运动。

③若＜＜，且=0，则，，则质量大物几乎不动，而质量小物原速率反弹。

(2) 完全非弹性碰撞

　 两物相碰粘合在一起或具有相同速度，被称为完全非弹性碰撞，在完全非弹性碰撞中，系统动量守恒，损失机械能最大。

　

碰撞过程中损失的机械能为

(3 )一般非弹性碰撞，恢复系数

一般非弹性碰撞是指碰撞后两物分开，速度，且碰撞过程中有机械损失，但比完全非弹性碰撞损失机械能要小。物理学中用恢复系数来表征碰撞性质。恢复系数e定义为

①弹性碰撞，　　　　　 e=1。

②完全非弹性碰撞　　　 ，e=0。

③一般非弹性碰撞　　　 0＜e＜1。

(4) 斜碰

两物碰撞前后不在一条直线上，属于斜碰，如图4-9-1所示

设两物间的恢复系数为e，设碰撞前、速度为、，

其法向、切向分量分别为、、、，碰后分离速度、，法向、切向速度分量、、、，则有

若两物接触处光滑，则应有、切向速度分量不变　 、

若两物接触处有切向摩擦，这一摩擦力大小正比于法向正碰力，也是很大的力，它提供的切向冲量便不可忽略。

§4．9　 质心及质心运动

4．7．1 功能原理

根据质点系动能定理

当质点系内有保守力作用和非保守力作用时，内力所做功又可分为

而由保守力做功特点知，保守力做功等于势能增量的负值，即

　

于是得到

用E表示势能与动能之和，称为系统机械能，结果得到

　 外力的功和非保守力内力所做功之和等于系统机械能的增量，这就是质点系的功能原理。可以得到(外力做正功使物体系机械能增加，而内部的非保守力作负功会使物体系的机械能减少)。

　 功能原理适用于分析既有外力做功，又有内部非保守力做功的物体系，请看下题：

　 劲度系数为k的轻质弹簧水平放置，左端固定，右端连接一个质量为m的木块(图4-7-1)开始时木块静止平衡于某一位置，木块与水平面之间的动摩擦因数为。然后加一个水平向右的恒力作用于木块上。(1)要保证在任何情况下都能拉动木块，此恒力F不得小于多少？(2)用这个力F拉木块，当木块的速度再次为零时，弹簧可能的伸长量是多少？

　　 题目告知“开始时木块静止平衡于某一位置”，并未指明确切的位置，也就是说木块在该位置时所受的静摩擦力和弹簧的形变量都不清楚，因此要考虑各种情况。如果弹簧自然伸展时，木块在O点，那么当木块在O点右方时，所受的弹簧的作用力向右。因为木块初始状态是静止的，所以弹簧的拉力不能大于木块所受的最大静摩擦力。要将木块向右拉动，还需要克服一个向左的静摩擦力，所以只要F≥2，即可保证在任何情况下都能拉动木块。

　　 设物体的初始位置为，在向右的恒力F作用下，物体到x处的速度再次为零，在此过程中，外部有力F做功，内部有非保守力f做功，木块的动能增量为零，所以根据物体系的功能原理有

可得

因为木块一开始静止，所以要求　　　　

≤≤

可见，当木块再次静止时，弹簧可能的伸长是

　　 ≤≤

4．6．2 常见的几种势能

(1)重力势能

　 在地球表面附近小范围内，mg重力可视为恒力，取地面为零势能面，则h高处重物m的重力势能为　　　

　

(2)弹簧的弹性势能

　 取弹簧处于原长时为弹性势能零点，当弹簧伸长(压缩)x时，弹力F=-kx，弹力做的功为　 　　　　　　　　　

　

　 由前面保守力所做功与势能变化关系可知

　　

(3)引力势能

　 两个质点M、m相距无穷远处，规定，设m从无穷远处移近M，引力做功W，由于F_引=，大小随r变化，可采用微元法分段求和方式。如图4-5-1，取质点n由A到B，位移为，引力做功

　 很小，、差异很小，则

由无穷远至距r处，引力功W为

开始时，最后相对距离为=r

又有

　

　 质点与均匀球体间引力势能，在球体外，可认为球体质量集中于球心，所以引力势能为　

　　 r≥R　　 R为球半径

　 质量M，半径为R的薄球壳，由于其内部引力合力为零，故任意两点间移动质点m，引力均不做功，引力势能为恒量，所以质量m质点在薄球壳附近引力势能为

　　　　　　　　　　　 =

§4．7 功能原理和机械能守恒定律

4．6．1 势能

　　　 若两质点间存在着相互作用的保守力作用，当两质点相对位置发生改变时，不管途径如何，只要相对位置的初态、终态确定，则保守力做功是确定的。存在于保守力相互作用质点之间的，由其相对位置所决定的能量称为质点的势能。规定保守力所做功等于势能变化的负值，即

W_保=。

(1)势能的相对性。

　　 通常选定某一状态为系统势能的零值状态，则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态下系统的势能值。原则上零势能状态可以任意选取，因而势能具有相对性。

(2)势能是属于保守力相互作用系统的，而不是某个质点独有的。

(3)只有保守力才有相应的势能，而非保守力没有与之相应的势能。