10． 如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围．

解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xoy，则CD⊥y轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称．依题意，记A(－c，0)，C(，h)，E(x₀, y₀)，其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．

由定比分点坐标公式得

x₀== ，

．

设双曲线的方程为，则离心率．

由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得

，　　　　　　　　　　　 ①

．　　 ②　

由①式得　　 ，　　　　　　　　　　 ③

将③式代入②式，整理得

，

故　　 　　

由题设得，．

解得．

所以双曲线的离心率的取值范围为．　　　

[探索题]如图，在双曲线的上支有三点，它们与点F(0，5)的距离成等差数列。

(1)　　　　　　 求

(2)　　　　　　 证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标

解：(1)故F双曲线的焦点，设准线为，离心率为，

由题设有　　①

分别过A、B、C作x轴的垂线，则由双曲线的第二定义有，

代入①式，得，

于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有

AC的中垂线方程为

　　(2)由于A、C在双曲线上，所以有

相减得

故(2)式化为，易知此直线过定点。

思维点拨：利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决，中垂线过弦AC的中点，中点问题往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题。

9． 已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值试对双曲线C′：－=1写出具有类似特性的性质，并加以证明

解：类似的性质为若MN是双曲线－=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值

设点M的坐标为(m，n)，

则点N的坐标为(－m，－n)，

其中－=1

又设点P的坐标为(x，y)，

由k_PM=，k_PN=，

得k_PM·k_PN=·=，

将y²=x²－b²，n²=m²－b²，代入得　 k_PM·k_PN=

点评：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求

8．已知双曲线的方程为, 直线通过其右焦点F₂，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F₁连结起来，求|F₁A|·|F₁B|的最小值

解：设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

A到双曲线的左准线x= ─= ─的距离d=|x₁+|=x₁+，

由双曲线的定义，=e=,

∴|AF₁|=(x₁+)=x₁+2,

同理，|BF₁|=x₂+2,

∴|F₁A|·|F₁B|=(x₁+2)(x₂+2)=x₁x₂+(x₁+x₂)+4　　 (1)

双曲线的右焦点为F₂(,0),

(1)当直线的斜率存在时设直线AB的方程为：y=k(x─)，

由消去y得　 (1─4k²)x²+8k²x─20k²─4=0,

∴x₁+x₂=,　 x₁x₂= ─,

代入(1)整理得

|F₁A|·|F₁B|=+4=+4

=+4=+

∴|F₁A|·|F₁B|>;

(2)当直线AB垂直于x轴时，容易算出|AF₂|=|BF₂|=,

∴|AF₁|=|BF₁|=2a+=(双曲线的第一定义), ∴|F₁A|·|F₁B|=

由(1), (2)得：当直线AB垂直于x轴时|F₁A|·|F₁B|　 取最大值

7． (2006江苏)已知三点P(5，2)、(－6，0)、(6，0)．

(Ⅰ)求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。

解：(I)由题意，可设所求椭圆的标准方程为(a>b>0)，

其半焦距c=6 2=|PF₁|+|PF₂|=+=6

∴=3，b²=a²-c²=45-36=9

所以所求椭圆的标准方程为

(II)点P(5,2)、F₁(-6，0)、F₂(6，0)关于直线y=x的对称点分别为P´(2,5)、F₁´(0，-6)，F₂´(0，6)

设所求双曲线的标准方程为(a₁>0,b₁>0)．

由题意知，半焦距c₁=6，

2a₁=||P´F₁´|-|P´F₂´||=|-|=4．

∴a₁=2,b=c-a=36-20=16．

所以所求双曲线的标准方程为

6． ||PF₁|－|PF₂||=6，cos∠F₁PF₂=

== =0

∴∠F₁PF₂=90°

[解答题]

6．已知双曲线的方程是16x²－9y²=144,F₁和F₂是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF₁|·|PF₂|=32，求∠F₁PF₂的大小

简答提示：1－3．CDC； 4． ； 5． ；

5．(2005山东)设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率e=________．

4．(2005福建)已知F₁、F₂是双曲线的两焦点，以线段F₁F₂为边作正三角形MF₁F₂，若边MF₁的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是_____

3．　 (2005天津)设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( 　)

A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

[填空题]

2．(2005湖南)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为(O为原点)，则两条渐近线的夹角为(　 )

A．30º　　　　　 B．45º　　　　　　　　 C．60º　　　　　　　　 D．90º