18．(12分)已知函数f(x)＝，数列{a_n}满足a₁＝1，a_n+1＝f(a_n)(n∈N^*)．

(1)求证：数列{}是等差数列；

(2)记S_n(x)＝++…+eq \f(xⁿ,a_n)，求S_n(x)．

(1)证明：∵a_n+1＝f(a_n)，∴a_n+1＝.

∴＝+3，即－＝3.

∴{}是以＝1为首项，3为公差的等差数列．

∴＝1+3(n－1)＝3n－2.

(2)解：S_n(x)＝x+4x²+7x³+…+(3n－2)xⁿ，①

当x＝1时，S_n(x)＝1+4+7+…+(3n－2)＝＝.

当x≠1时，xS_n(x)＝x²+4x³+…+(3n－5)xⁿ+(3n－2)xⁿ⁺¹，②

①－②，得(1－x)S_n(x)＝x+3x²+3x³+…+3xⁿ－(3n－2)xⁿ⁺¹＝3(x+x²+…+xⁿ)－2x－(3n－2)xⁿ⁺¹＝－2x－(3n－2)xⁿ⁺¹，

S_n(x)＝－.

17．(12分)S_n是无穷等比数列{a_n}的前n项和，公比q≠1，已知1是S₂和S₃的等差中项，6是2S₂和3S₃的等比中项．

(1)求S₂和S₃的值；

(2)求此数列的通项公式；

(3)求此数列的各项和S.

解：(1)由题意知，

解得S₂＝2，S₃＝3.

(2)，

解得或(舍去)．

∴a_n＝4·(－)^n－1.

(3)∵|q|＝|－|＝<1.∴S＝＝.

16．数列{a_n}中，a₁＝3，a_n－a_na_n+1＝1(n＝1,2，…)，A_n表示数列{a_n}的前n项之积，则A₂₀₀₅＝__________.

解析：可求出a₁＝3，a₂＝，a₃＝－，a₄＝3，a₅＝，a₆＝－，…，数列{a_n}每3项重复一次，可以理解为周期数列，由2005＝668×3+1且a₁×a₂×a₃＝－1，则

A₂₀₀₅＝(a₁×a₂×a₃)…(a₂₀₀₂×a₂₀₀₃×a₂₀₀₄)×a₂₀₀₅

＝(a₁×a₂×a₃)⁶⁶⁸a₁＝3.

答案：3

15．把100个面包分给5个人，使每人所得的面包数成等差数列，且使较多的三份之和的等于较少的两份之和，则最少的一份面包个数是__________．

解析：设构成等差数列的五个数为a－2d，a－d，a，a+d，a+2d，则解得，

则最少的一份为a－2d＝10.

答案：10

14．(2009·重庆一诊)已知数列{a_n}是等比数列，且a₄·a₅·a₆·a₇·a₈·a₉·a₁₀＝128，则a₁₅·＝__________.

解析：设等比数列{a_n}的公比为q，则依题意得a·q⁴²＝128，a₁·q⁶＝2，a₇＝2，a₁₅·＝a₂·q⁵＝a₇＝2.

答案：2

13．已知{a_n}是等差数列，a₄+a₆＝6，其前5项和S₅＝10，则其公差d＝__________.

解析：由a₄+a₆＝6，得a₅＝3，又S₅＝＝10，

∴a₁＝1.∴4d＝a₅－a₁＝2，d＝.

答案：

12．(2009·湖北高考)设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}＝x－[x]，则{}，[]，

(　)

A．是等差数列但不是等比数列

B．是等比数列但不是等差数列

C．既是等差数列又是等比数列

D．既不是等差数列也不是等比数列

解析：由题意，记a₁＝{}＝－[]＝－1＝，a₂＝[]＝1，a₃＝，若为等差数列，则2a₂＝a₁+a₃，不满足；若为等比数列，则(a₂)²＝a₁a₃，有1²＝×，∴是等比数列但非等差数列，选B.

答案：B

11．(2010·湖北八校联考)在数列{a_n}中，n∈N^*，若＝k(k为常数)，则称{a_n}为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：

①k不可能为0

②等差数列一定是等差比数列

③等比数列一定是等差比数列

④等差比数列中可以有无数项为0

其中正确的判断是

(　)

A．①②　 　　　　　　　　　　　　　 B．②③

C．③④　 　　　　　　　　　　　　　 D．①④

解析：依题意，∵＝k(n∈N^*)，∴k≠0，①正确，排除B，C选项，又由于公差是0的等差数列不是等差比数列，②错误，排除A，选择D.

答案：D

10．(2009·安徽蚌埠测验)数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6，…的第1000项等于(　)

A．42　 　　　　　　　　　　　　　　 B．45

C．48　 　　　　　　　　　　　　　　 D．51

解析：将数列分段，第1段1个数，第2段2个数，…，第n段n个数，设a₁₀₀₀＝k，则a₁₀₀₀在第k个数段，由于第k个数段共有k个数，则由题意k应满足1+2+…+(k－1)<1000≤1+2+…+k，解得k＝45.

答案：B

9．已知等比数列{a_n}的各项均为正数，数列{b_n}满足b_n＝lna_n，b₃＝18，b₆＝12，则数列{b_n}前n项和的最大值等于

(　)

A．126　 　　　　　　　　　　　　　 B．130

C．132　 　　　　　　　　　　　　　　 D．134

解析：∵{a_n}是各项不为0的正项等比数列，

∴b_n＝lna_n是等差数列．

又∵b₃＝18，b₆＝12，∴b₁＝22，d＝－2，

∴S_n＝22n+×(－2)＝－n²+23n，

∴(S_n)_max＝－11²+23×11＝132.

答案：C