(一)选择题：

1、(06全国Ⅱ)函数y＝lnx－1(x＞0)的反函数为(　 )

A、y＝e^x+1(x∈R)　　　　　　　　　　　 B、y＝e^x－1(x∈R)

C、y＝e^x+1(x＞1)　　　　　　　　　　　 D、y＝e^x－1(x＞1)

2、(05全国Ⅲ)设，则(　　 )

A、－2<<－1　　 　　 B、－3<<－2 　 C、－1<<0　 　　 D、0<<1

3、(04天津11)函数()的反函数是

A. 　　　　　　　　　　 B.

C. 　　　　 D.

4、(04湖北)若函数、三、四象限，则一定有(　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

例1、(07江苏)设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有(　)

A．　　　　　 B．

C．　　　　　 D．

例2、(07上海春)若为方程的两个实数解，则　　　　 ；

例3、(05全国Ⅱ)设函数，求使的取值范围．

例4、(05江西10)已知实数a, b满足等式下列五个关系式

①0<b<a　 ②a<b<0　　　　　 ③0<a<b　　　　　　　 ④b<a<0　 ⑤a=b

其中不可能成立的关系式有(　　 )

A．1个　　　　　　　　　　　　 B．2个　　　　　　　　　　　 C．3个　　　　　　　　　　 D．4个

例5、(06湖北21)设是函数的一个极值点。(Ⅰ)、求与的关系式(用表示)，并求的单调区间；(Ⅱ)、设，。若存在使得成立，求的取值范围。 点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。

解：(Ⅰ)f `(x)＝－[x²+(a－2)x+b－a ]e^3－x,

由f `(3)=0，得 －[3²+(a－2)3+b－a ]e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，

则 f `(x)＝[x²+(a－2)x－3－2a－a ]e^3－x

＝－[x²+(a－2)x－3－3a ]e^3－x＝－(x－3)(x+a+1)e^3－x.

令f `(x)＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是极值点，

所以x+a+1≠0，那么a≠－4.

当a<－4时，x₂>3＝x₁，则

在区间(－∞，3)上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间(3，―a―1)上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间(―a―1，+∞)上，f `(x)<0，f (x)为减函数。

当a>－4时，x₂<3＝x₁，则

在区间(－∞，―a―1)上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间(―a―1，3)上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间(3，+∞)上，f `(x)<0，f (x)为减函数。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当a>0时，f (x)在区间(0，3)上的单调递增，在区间(3，4)上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－(2a+3)e³<0，f (4)＝(2a+13)e^－1>0，f (3)＝a+6，

那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－(2a+3)e³，a+6].

又在区间[0，4]上是增函数，

且它在区间[0，4]上的值域是[a²+，(a²+)e⁴]，

由于(a²+)－(a+6)＝a²－a+＝()²≥0，所以只须仅须

(a²+)－(a+6)<1且a>0，解得0<a<.

故a的取值范围是(0，)。

例3　函数的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是(　)．A．　 B．　 C．　 D．

解析：要使函数的定义域是全体实数，可转化为对一切实数都成立，即且．

解得．　故选(B)

幂函数中的三类讨论题

　所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略． 分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论．在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现．

类型一：求参数的取值范围

例1　已知函数为偶函数，且，求m的值，并确定的解析式．

分析：函数为偶函数，已限定了必为偶数，且，，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定的解析式．

解：∵是偶函数，∴应为偶数．

又∵，即，整理，得，∴，∴．

又∵，∴或1．

当m=0时，为奇数(舍去)；当时，为偶数．

故m的值为1，．

评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．

类型二：求解存在性问题

例2　已知函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．

解：∵，则．

假设存在实数，使得满足题设条件，

设，则

．

若，易知，，要使在上是减函数，则应有恒成立．

∵，，∴．而，

∴.．

从而要使恒成立，则有，即．

若，易知，要使在上是增函数，则应有恒成立．

∵，，

∴，而，∴．

要使恒成立，则必有，即．

综上可知，存在实数，使得在上是减函数，且在上是增函数．

评注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用．判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练．

类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况

例3　讨论函数在时随着x的增大其函数值的变化情况．

分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论．

解：(1)当，即或时，为常函数；

(2)当时，或，此时函数为常函数；

(3)即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小；

(4)当即或时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；

(5)当即时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；

(6)当，即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小．

评注：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素．这应引起我们的高度警觉．

幂函数习题

　幂函数这一知识点，表面上看内容少而且容易，实质上则不然．它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想，是培养同学们数学思维能力的良好载体．下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用．

例1　若，试求实数m的取值范围．

错解(数形结合)：由图1可知

解得　，且．

剖析：函数虽然在区间和上分别具有单调性，但在区间上不具有单调性，因而运用单调性解答是错误的．

正解(分类讨论)：

(1)

解得；

(2)此时无解；

(3)，　 解得．

综上可得．

现在把例1中的指数换成3看看结果如何．

例2　若，试求实数m的取值范围．

错解(分类讨论)：由图2知，

(1)1， 解得；

(2)此时无解；

(3)，　 解得　．

综上可得　．

剖析：很明显，此解法机械地模仿例1的正确解法，而忽视了函数间定义域的不同．由此，使我们感受到了幂函数的定义域在解题中的重要作用．

正解(利用单调性)：由于函数在上单调递增，所以，解得．

例2正确解法深化了对幂函数单调性的理解，激活了同学们的思维．下面再对和两个问题与解法进行探究．

例3若，试求实数m的取值范围．

解：由图3，，解得　．

例4　若，试求实数m的取值范围．

解析：作出幂函数的图象如图4．由图象知此函数在上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键．考虑时，．于是有，即．

又∵幂函数在上单调递增，

∴， 解得，或m＞4．

上述解法意识到幂函数在第一象限的递增性，于是巧妙运用转化思想解题，从而避免了分类讨论，使同学们的思维又一次得到深化与发展．

解题点悟：通过以上探究，我们对幂函数的定义域、单调性、奇偶性及图象又有了较深刻的认识，同时对于形如(是常数)型的不等式的解法有了以下体会：

(1)当，解法同例1

(2)当，解法同例2

(3)当，解法同例3

(4)当，解法同例4．

编者点评：本文通过对一典型例题的多种变换，使我们对幂函数的性质及图象都有了较深刻的认识，其中例4解题过程中虽涉及了含绝对值不等式的解法，超出了我们的所学范围，但它其中蕴含的这种“转化”的思想，一方面拓宽了我们的解题思路，同时也体现了对知识的灵活应用能力，当然此题还可用分类讨论的方法解决，同学们不妨一试．

例2　已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．

问当x为何值时有：(1)；(2)；(3)．

分析：由幂函数的定义，先求出与的解析式，再利用图象判断即可．

解：设，则由题意，得，

∴，即．再令，则由题意，得，

∴，即．在同一坐标系中作出

与的图象，如图2所示．由图象可知：

(1)当或时，；

(2)当时，；

(3)当且时，．

小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中的隐含条件．

例1　已知函数的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象．

解：因为图象与y轴无公共点，故，又图象关于y轴对称，则为偶数，由，得，又因为，所以．

当时，不是偶数；

当时，为偶数；

当时，为偶数；

当时，不是偶数；

当时，为偶数；

所以n为，1或3．

此时，幂函数的解析为或，其图象如图1所示．

20．(14分)利用幂函数图象，画出下列函数的图象(写清步骤).

　　　 (1)．

19．(14分)由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x成(即上涨率为)，涨价后，商品卖出个数减少bx成，税率是新定价的a成，这里a,b均为正常数，且a<10，设售货款扣除税款后，剩余y元，要使y最大，求x的值.

18．(12分)下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.

　　　　　 (A)　　 (B)　　　 (C)　　　　 (D)　　　 (E)　　 (F)

17．(12分)求证：函数在R上为奇函数且为增函数.

16．(12分)已知幂函数 轴对称，试确定的解析式.