1． 函数的单调性

⑴ 函数y＝在某个区间内可导，若＞0，则为　 　　　；若＜0，则为　　　　 　.(逆命题不成立)

(2) 如果在某个区间内恒有，则　　 .

注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.

(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：

① 确定函数的　　　　 ；

② 求，令　　　　 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；

③ 把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；

④ 确定在各小开区间内的　　　　 ，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性.

3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.

第2课时　 导数的概念及性质

2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.

1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。

4．求导数的方法

(1) 八个基本求导公式

＝　　　 ；　　 ＝　　　　 ；(n∈Q)

＝　　　　 ， ＝　　　　　

＝　　　　 ，　 ＝　　　　　　

＝　　　　 　， ＝　　　　　

(2) 导数的四则运算

＝　　　　　 　＝　　　 　　

＝　　　　　　 　，＝　　　　　

(3) 复合函数的导数

设在点x处可导，在点处可导，则复合函数在点x处可导， 且＝　　　　 ，即.

例1．求函数y=在x₀到x₀+Δx之间的平均变化率.

解　 ∵Δy=

变式训练1. 求y=在x=x₀处的导数.　

解 　

例2. 求下列各函数的导数：

　(1)　　　　 (2)

　(3)　　 (4)

　 解 　(1)∵

　 ∴y′

　 (2)方法一　 y=(x²+3x+2)(x+3)=x³+6x²+11x+6，∴y′=3x²+12x+11.

　 方法二　 =

=(x+3)+(x+1)(x+2)

=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x²+12x+11.　

(3)∵y=

∴

(4) ，

∴

变式训练2：求y=tanx的导数.

　 解　 y′

例3. 已知曲线y=　

(1)求曲线在x=2处的切线方程；　

(2)求曲线过点(2，4)的切线方程.

　解 　(1)∵y′=x²,∴在点P(2，4)处的切线的斜率k=|_x=2=4.　 　

∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.　

(2)设曲线y=与过点P(2，4)的切线相切于点，

则切线的斜率k=|=.　

∴切线方程为即　

∵点P(2，4)在切线上，∴4=

即∴

∴(x₀+1)(x₀-2)²=0,解得x₀=-1或x₀=2,

故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.

变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x³-3x²+2x相切，则k=　　　　 .

　 答案 2或

例4. 设函数 (a,b∈Z)，曲线在点处的切线方程为y=3.

(1)求的解析式；

(2)证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

(1)解　 ，

于是解得或

因为a,bZ，故

(2)证明　 在曲线上任取一点．

由知，过此点的切线方程为

．

令x=1，得，切线与直线x=1交点为．

令y=x，得，切线与直线y=x的交点为．

直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)．

从而所围三角形的面积为．

所以，所围三角形的面积为定值2.

变式训练4：偶函数f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e的图象过点P(0，1)，且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f(x)的解析式.　

解　 ∵f(x)的图象过点P(0，1)，∴e=1.　　　　　　　　 ①　

又∵f(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x).　

故ax⁴+bx³+cx²+dx+e=ax⁴-bx³+cx²-dx+e.　

∴b=0，d=0.　　　　　　　　 ②　

∴f(x)=ax⁴+cx²+1.　

∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为(1，-1).　

∴a+c+1=-1.　　　　　　 ③　

∵=(4ax³+2cx)|_x=1=4a+2c，∴4a+2c=1.　　　　 ④　

由③④得a=，c=.　∴函数y=f(x)的解析式为

3．导数的几何意义：设函数y＝在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的　　　　 .

2．导函数：函数y＝在区间(a, b)内　　　 的导数都存在，就说在区间( a, b )内　　　　 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的　　　　 ，记作或，函数的导函数在时的函数值　　　　 ，就是在处的导数.

1．导数的概念：函数y＝的导数，就是当Δ0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比的　　　　 ，即＝　　　　 ＝　　　　 ．

3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．

导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大(小)值，以及最大(小)值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.

第1课时　　 变化率与导数、导数的计算

2. 熟记八个基本导数公式(c,(m为有理数)， 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.