(三)解答题(共6题)

1.(北京卷理20)已知集合对于，，定义A与B的差为A与B之间的距离为

(Ⅰ)证明：，且;

(Ⅱ)证明：三个数中至少有一个是偶数

(Ⅲ) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P).

　 证明：(P)≤.

证明：(I)设，，

　　　 因为，，所以,

　　　 从而

　　 又

由题意知，，.

当时，;

　　 当时，

所以

(II)设，，

　 ，，.

　 记，由(I)可知

所以中1的个数为，的1的个数为。

　　 设是使成立的的个数，则

　　 由此可知，三个数不可能都是奇数，

　　 即,,三个数中至少有一个是偶数。

(III),其中表示中所有两个元素间距离的总和，

设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0则=

由于所以

从而

2. (北京卷文20)已知集合对于，，定义A与B的差为

A与B之间的距离为

(Ⅰ)当n=5时，设，求，；

(Ⅱ)证明：，且;

(Ⅲ) 证明：三个数中至少有一个是偶数

(Ⅰ)解：=(1,0,1,0,1)

设是使成立的的个数。则

3.(广东卷理21))设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A,B)为ρ(A,B)=+.对于平面上给定的不同的两点A(),B()

若点C(x, y)是平面上的点，试证明ρ+ρρ;

在平面上是否存在点C(x, y),同时满足①ρ+ρ= ρ； 　②ρ= ρ；若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明。

解析：设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为.

当且仅当时等号成立，即三点共线时等号成立.

(2)当点C(x, y) 同时满足①P+P= P，②P= P时，点是线段的中点. ，即存在点满足条件。

4.(江苏卷23)已知△ABC的三边长为有理数

(1)求证cosA是有理数

(2)对任意正整数n，求证cosnA也是有理数

[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。

(方法一)(1)证明：设三边长分别为，，∵是有理数，

是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，

∴必为有理数，∴cosA是有理数。

(2)①当时，显然cosA是有理数；

当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数；

②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。

当时，，

，

，

解得：

∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，

∴是有理数。　　 即当时，结论成立。

综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。

(方法二)证明：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知

是有理数。

(2)用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。

①当时，由(1)知是有理数，从而有也是有理数。

②假设当时，和都是有理数。

当时，由，

，

及①和归纳假设，知和都是有理数。

即当时，结论成立。

综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。

5.(上海卷理22)若实数、、满足，则称比远离.

(1)若比1远离0，求的取值范围；

(2)对任意两个不相等的正数、，证明：比远离；

(3)已知函数的定义域.任取，等于和中远离0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的基本性质(结论不要求证明).

解析：(1) ； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，， 因为， 所以，即a3+b3比a2b+ab2远离； (3) ， 性质：1°f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2°f(x)是周期函数，最小正周期， 3°函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ， 4°函数f(x)的值域为．

6.(上海卷文22)若实数、、满足，则称比接近.

(1)若比3接近0，求的取值范围；

(2)对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；

(3)已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明).

解析：(1) xÎ(-2,2)； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，， 因为， 所以，即a2b+ab2比a3+b3接近； (3) ,kÎZ， f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0， 函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ．

15.[答案]CD　　 DE

[解析]在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得，故，即CD长度为a,b的几何平均数，将OC=代入可得故，所以ED=OD-OE=，故DE的长度为a,b的调和平均数.

19.(2010广东文数)(本题满分12分)

某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

解：设为该儿童分别预订个单位的午餐和个单位的晚餐，设费用为F，则F，由题意知：

画出可行域：

变换目标函数：

(2010湖北理数)15.设a>0,b>0,称为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段　　 的长度是a,b的几何平均数，线段　　 的长度是a,b的调和平均数。

19.(2010广东理数)(本小题满分12分)

　 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

　 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

解：设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则。

　 可行域为

12 x+8 y ≥64

6 x+6 y ≥42

6 x+10 y ≥54

x≥0， x∈N

　 y≥0， y∈N

　 即

3 x+2 y ≥16

　x+ y ≥7

3 x+5 y ≥27

x≥0， x∈N

　 y≥0， y∈N

　　 作出可行域如图所示：

　 经试验发现，当x=4,y=3 时，花费最少，为=2.5×4+4×3=22元．

5．对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个．

4．对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形(换)而得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性．

3．等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系．

2．确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．

1．处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断．不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念．

4．A：圆与直线相切，B：

分析：要判断A是B的什么条件，只要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可．

解：(1) 当，取，则方程无实根；若方程有实根，则由推出或6，由此可推出．所以A是B的必要非充分条件．

(2)若则

所以成立

若成立　　 取，知不一定成立，

故A是B的充分不必要条件．

(3) 由，由解得，所以A推不出B，但B可以推出A，故A是B的必要非充分条件．

(4) 直线与圆相切圆(0，0)到直线的距离，即＝＝.所以A是B的充要条件.

变式训练1：指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).　

(1)在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sinA=sinB；　

(2)对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;　

(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；　

(4)已知x、y∈R，p：(x-1)²+(y-2)²=0，q：(x-1)(y-2)=0.　

解： (1)在△ABC中，∠A=∠BsinA=sinB，反之，若sinA=sinB，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.　

(2)易知: p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然qp.但pq,即q 是p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.　

(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.　

(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,　

所以pq但qp,故p是q的充分不必要条件.　

例2. 已知p：－2＜m＜0，0＜n＜1；q：关于x的方程x²+mx+n＝0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.

解：若方程x²+mx+n＝0有两个小于1的正根，设为x₁、x₂．

则0＜x₁＜1、0＜x₂＜1，∵x₁+x₂＝－m，x₁x₂＝n

∴0＜－m＜2，0＜n＜1　 ∴－2＜m＜0，0＜n＜1

∴p是q的必要条件．

又若－2＜m＜0，0＜n＜1，不妨设m＝－1，n＝．

则方程为x²－x+＝0，∵△＝(－1)²－4×＝－1＜0． ∴方程无实根　 ∴p是q的非充分条件．

综上所述，p是q的必要非充分条件．

变式训练2：证明一元二次方程ax²+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.　

证明：充分性：若ac<0,则b²-4ac>0,且<0,　

∴方程ax²+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根.　　

必要性：若一元二次方程ax²+bx+c=0有一正根和一负根，则=b²-4ac>0,x₁x₂=<0,∴ac<0.

综上所述，一元二次方程ax²+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

例3. 已知p： |1－|≤2，q：:x²－2x+1－m²≤0(m>0)，若是的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.

解： 由题意知：命题：若┒p是┑q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件.

p: |1－|≤2－2≤－1≤2－1≤≤3－2≤x≤10

q: x²－2x+1－m²≤0［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0*

∵p是q的充分不必要条件，

∴不等式|1－|≤2的解集是x²－2x+1－m²≤0(m>0)解集的子集.

又∵m>0，∴不等式*的解集为1－m≤x≤1+m

∴，∴m≥9，

∴实数m的取值范围是［9，+∞

变式训练3：已知集合和集合，求a的一个取值范围，使它成为的一个必要不充分条件.

解：，

　　 由

所以是必要但不充分条件. 说明：此题答案不唯一.

例4. “函数y＝(a²+4a－5)x²－4(a－1)x+3的图象全在x轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是什么？

解：函数的图象全在轴上方，若是一次函数，则

若函数是二次函数，则：

反之若，由以上推导，函数的图象在轴上方，综上，充要条件是．

变式训练4：已知P＝{x | |x－1| | >2}，S＝{x | x2+，的充要条件是，求实数的取值范围．

分析：的充要条件是，即任取，反过来，任取

据此可求得的值．

解：的充要条件是

∵P＝{x || x－1|＞2}}＝

S＝{x | x2+(a+1)x+a＞0)}＝{x | (x+a)(x+1)＞0}