8.已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，O为原点，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．

(1)求|2a+b|；

(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b?

解：(1)2a+b＝(2，－6,4)+(－2,1,1)＝(0，－5,5)，

故|2a+b|＝＝5.

(2)假设存在一点E满足题意，即＝t 　(t≠0)．

＝+＝+t

＝(－3，－1,4)+t(1，－1，－2)

＝(－3+t，－1－t,4－2t)，

若⊥b，则·b＝0，

所以－2(－3+t)+(－1－t)+(4－2t)＝0，解得t＝，

因此存在点E，使得⊥b，

此时点E的坐标为(－，－，)．

7．如图，平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，

以顶点A为端点的三条棱长都为1，且

两夹角为60°.

(1)求AC₁的长；

(2)求BD₁与AC夹角的余弦值．

解：设＝a，＝b，＝c，则两两夹角为60°，且模均为1.

(1)＝+＝++＝a+b+c.

∴||²＝(a+b+ c)²＝|a|²+|b|²+|c|²+2a·b+2b·c+2a·c

＝3+6×1×1×＝6，

∴||＝，即AC₁的长为.

(2)＝+＝－+＝b－a+c.

∴·＝(b－a+c)·(a+b)

＝a·b－a²+a·c+b²－a·b+b·c

＝1.

||＝＝，|AC―→|＝＝，

∴cos〈，〉＝＝＝.

∴BD₁与AC夹角的余弦值为.

6．(2010·长沙模拟)二面角α－l－β为60°，A、B

是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，

AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝α，BD＝2a，则CD

的长为　　　　 　　　　　　　　　　　　(　)

A．2a　 　　　　B.a　　　　 C．a 　　　　D.a

解析：∵AC⊥l，BD⊥l，

∴〈,〉＝60°，且·＝0，·＝0，

∴＝++，

∴||＝

＝＝2a.

答案：A

5.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，

点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a²等于(　)

A．2·　　　　　　　 　B．2·　　　

C．2· 　　　　　　　　　D．2·

解析：〈，〉＝，∴2·＝2a²×cos＝a².

答案：B

4．如图在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F、G

分别是A₁D₁、D₁D、D₁C₁的中点．

求证：平面EFG∥平面AB₁C.

证明：设＝a，＝b，＝c，

则＝+＝(a+b)，＝a+b＝2，

∴∥，

＝+＝b－c＝(b－c)，

＝+＝b－c＝2，∴∥.

又∵EG与EF相交，AC与B₁C相交，

∴平面EFG∥平面AB₁C.

3.A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个

点是否共面________(共面或不共面)．

解析：＝(3,4,5)，＝(1,2,2)，

＝(9,14,16)，

设＝x+y.

即(9,14,16)＝(3x+y,4x+2y,5x+2y)，

∴从而A、B、C、D四点共面．

答案：共面

2．如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱

ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M是AC与BD的交点，

若＝a，＝b，＝c，则下列向

量中与相等的向量是　　　　　 (　)

A．－a+b+c　　　　　　 　B.a+b+c

C.a－b+c 　　　　　　　　　　　　D．－a－b+c

解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，

＝+＝c+

＝c+(－)＝－a+b+c.

答案：A

1.如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为

AB、BC、CD、AC的中点，则(++)化简

的结果为　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．　　　　　 B． 　　　

　 C．　　　　D．

解析：(++)＝(+)＝＝·2＝.

答案：C

10．设P是60°的二面角α－l－β内一点，PA⊥α，PB⊥β，A、B分别为垂足，PA＝2，PB＝4，则AB的长是________．

解析：如图所示，PA与PB确定平面γ，与l交于点E，则BE⊥l，AE⊥l，

∴∠BEA即为二面角的平面角，

∴∠BEA＝60°，从而∠BPA＝120°，　　　　　　

∴AB＝

＝＝2.

答案：2

9．(2009·浙江高考)在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB₁C₁C的中心，则AD与平面BB₁C₁C所成角的大小是　　　　　　　　 (　)

A．30°　 　　　　　　B．45°　　　　　　　　 C．60°　 　　　　　　D．90°

解析：如图，取BC中点E，连结DE、AE、AD，

依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB₁C₁C，

故∠ADE为AD与平面BB₁C₁C所成的角．设各棱长为1，

则AE＝，DE＝，

tan∠ADE＝＝＝，

∴∠ADE＝60°.

答案：C