21.解：(Ⅰ)设、两点的横坐标分别为、，

　，　 切线的方程为：，

又切线过点， 有，

即，　 ………………………………………………(1)　 …… 2分

同理，由切线也过点，得．…………(2)

由(1)、(2)，可得是方程的两根，

　 ………………( * )　　　　　　 ……………………… 4分

　　　　　 ，

把( * )式代入,得,

因此，函数的表达式为．　 ……………………5分

(Ⅱ)当点、与共线时，，＝，

即＝，化简，得，

，．　　　 ………………(3)　　 …………… 7分

把(*)式代入(3)，解得．

存在，使得点、与三点共线，且 ．　　　 ……………………9分

(Ⅲ)解法：易知在区间上为增函数，

，

则．

依题意，不等式对一切的正整数恒成立，　 …………11分

，

即对一切的正整数恒成立，．

， ，

．

由于为正整数，．　　　　　　　　　 ……………………………13分

又当时，存在，，对所有的满足条件．

因此，的最大值为．　　　　　　　　　　　 ……………………………14分

解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值．

，长度最小的区间为，　　　　　 …………………11分

当时，与解法相同分析，得，

解得．　　　　　　　　　　　　　

后面解题步骤与解法相同(略)．　 ……………………………14分

20.解：(Ⅰ)如图，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系

则，，，　　　　　　　　　　　 ………2分

设椭圆方程为

则

解得………………4分

∴所求椭圆方程为　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………5分

(Ⅱ)由得点的坐标为

显然直线 与轴平行时满足题意，即　　　　　　　　　　　　 …………6分

直线 与轴垂直时不满足题意

不妨设直线 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………7分

由　　 得　 ………9分

由 　得 ………10分

设，,的中点为

则，　　　　　　 ………11分

∵

∴

∴　　 即

解得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………12分

由 　得　 　且 …………13分

故直线 与夹角的正切值的取值范围是　　　 ……………14分

19.解：(Ⅰ)用函数来描述A饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适。3分

因为函数，，在其定义域内都是单调函数，不具备先递增后递减的特征。-----------------------------------------------------5分

(Ⅱ)依题意知，函数过点(1，2)和(4，5)，则有，解得，

∴ ()--------------------------8分

∵＝

∴在各地区中，年人均A饮料销量最多为升。----------------10分

(Ⅲ)依题意知当或时

　 ∵函数在上为增函数，∴

∵函数在上为减函数，∴

当时，

∵，∴在各地区中，年人均A饮料销量最多为升。------------14分

18．解：(Ⅰ)解法一：，，

由已知，　　　　　　　　　　　　 …………………………4分

得：，

， 的公比.　　　　 …………………………8分

解法二：由已知，　　　　　　　　 …………………………2分

当时，，，，

则，与为等比数列矛盾；　 ………4分

　 当时，则，

　　 化简得：，，， ………8分

　 (Ⅱ)，则有：

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………11分

　　　　　　　　　 　　　　　　　………………………12分

　　　　　　　　　　　　　 ………………………13分

17.解：(Ⅰ)∵ ABCD－A₁B₁C₁D₁是长方体，且AB=AD

　　　　 ∴平面-----------------------------------2分

　　　　 ∵平面　　 ∴平面ADG⊥平面CDD₁C₁----------------------------4分

(Ⅱ)当点G与C₁重合时，B₁C₁在平面ADG内，

当点G与C₁不重合时，B₁C₁∥平面ADG-------------------------------------------6分

证明：∵ABCD－A₁B₁C₁D₁是长方体，

∴B₁C₁∥AD

若点G与C₁重合， 平面ADG即B₁C₁与AD确定的平面，∴B₁C₁平面ADG

若点G与C₁不重合

∵平面,平面且B₁C₁∥AD

∴B₁C₁∥平面ADG----------------------------------------------------------10分

(Ⅲ)∵　 ∴为二面角G－AD－C的平面角----12分

在Rt△GDC中，∵GC=1,DC=1　 ∴=45°-------------------13分