9．已知函数x,y满足x≥1,y≥1 log_a²x+log_a²y=log_a(ax²)+log_a(ay²)(a>0且a≠1),求log_a(xy)的取值范围

9 解: 由已知等式得log_a²x+log_a²y=(1+2log_ax)+(1+2log_ay),

即(log_ax－1)²+(log_ay－1)²=4,

令u=log_ax,v=log_ay,k=log_axy,则(u－1)²+(v－1)²=4(uv≥0),k=u+v

在直角坐标系uOv内，

圆弧(u－1)²+(v－1)²=4(uv≥0)与平行直线系v=－u+k有公共点，

分两类讨论　

(1)当u≥0,v≥0时，即a>1时，结合判别式法与代点法得

1+≤k≤2(1+);

(2)当u≤0,v≤0,即0＜a＜1时，同理得到2(1－)≤k≤1－　

综上，当a>1时，log_axy的最大值为2+2，最小值为1+；

当0＜a＜1时，log_axy的最大值为1－，最小值为2－2

8. 已知函数f(x)=log_ax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x₁,x₂∈(0,+∞),判断［f(x₁)+f(x₂)］与f()的大小，并加以证明

解　 f(x₁)+f(x₂)=log_ax₁+log_ax₂=log_ax₁x₂,

∵x₁,x₂∈(0,+∞),x₁x₂≤()²(当且仅当x₁=x₂时取“=”号)，

当a>1时，有log_ax₁x₂≤log_a()²,

∴log_ax₁x₂≤log_a()，(log_ax₁+log_ax₂)≤log_a,

即f(x₁)+f(x₂)］≤f()(当且仅当x₁=x₂时取“=”号)

当0＜a＜1时，有log_ax₁x₂≥log_a()²,

∴(log_ax₁+log_ax₂)≥log_a,即［f(x₁)+f(x₂)］≥f()(当且仅当x₁=x₂时取“=”号)

7. 设不等式2(logx)²+9(logx)+9≤0的解集为M，求当x∈M时函数f(x)=(log₂)(log₂)的最大、最小值

　解　 ∵2(x)²+9(x)+9≤0

∴(2x+3)( x+3)≤0　　 ∴－3≤x≤－

即 ()^－3≤x≤()?

∴()≤x≤()^－3,∴2≤x≤8

即M={x|x∈［2,8］}

又f(x)=(log₂x－1)(log₂x－3)=log₂²x－4log₂x+3=(log₂x－2)²－1　

∵2≤x≤8,∴≤log₂x≤3

∴当log₂x=2,即x=4时y_min=－1;当log₂x=3,即x=8时，y_max=0

6. 由得，又，

∴,∴

[解答题]

4.,选B; 　5.2;

6.已知，，则用 a, b 表示为　　　　

答案提示: 1-4.ACBB; 3.易得f(x)是偶函数，又在(－∞，0)上递增，∴f(x)在(0，+∞)上单调递减,0＜a＜1. 1＜a+1＜2.∴f(a+1)＞f(2).

5.(2006江西)设的反函数为,若

,则________.

4.设 ，则与的大小关系为(　 )

　 A．　 　　B．

　 C．　 　　D．与的大小关系不确定

[填空题]

3.设函数f(x)=log_a|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a+1)与f(2)的大小关系是　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A.f(a+1)=f(2)　　 　　　　　　 B.f(a+1)＞f(2)

C.f(a+1)＜f(2)　　　　　　　　　 D.不能确定

2．若，则(　 )

　 A．4　　 B．16　　 C．256　　 D．81