3. 已知函数构造函数F(x)，定义F如下：当时，，当时，，那么　 (　　 )

　　　 A．有最小值－1，无最大值　　　　　　　　　　　　 B．有最小值0，无最大值

　　　 C．有最大值1，无最小值　　　　　　　　　　　　　 D．无最小值，也无最大值

[填空题]

2．已知函数在(－∞，+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是　　　　　 (　 )

A．(0,1) 　　 B．(0,)　 C．　　 D．

1.(2006山东)设，则不等式的解集为　 (　 )

A.　　　 B.　 C.　 D.

2.分段函数的处理方法:分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个解析式。

同步练习　　 2．11分段函数与绝对值函数

[选择题]

1.分段函数、绝对值函数问题类型--

[例1]设定义在N上的函数f(x)满足f(n)=求f(2002).

解：∵2002＞2000，

∴f(2002)=f［f(2002－18)］=f［f(1984)］=f［1984+13］=f(1997)=1997+13=2010.

感悟方法　 求值时代入哪个解析式,一定要看清自变量的取值在哪一段上.

[例2]判断函数的奇偶性。 　解：当x>0时，－x<0, f(－x)= －(－x)²(－x+1)=x²(x－1)=f(x)； 　当x=0时，f(－0)=f(0)=0；当x<0时，f(－x)=( －x)²(－x－1)= －x²(x+1)=f(x)。因此，对任意x∈R都有f(-x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数。 提炼方法：:分段函数的奇偶性必须对x的值分类比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数的结论。

[例3](2007启东质检)已知函数,

(1)当时，求证：；

(2)是否存在实数，使得函数的定义域、值域都是，若存在，则求出的值，若不存在，请说明理由；

(3)若存在实数，使得函数的定义域为时，值域为，求m的取值范围．

解:(1)∵，∴

∴在(0，1)上为减函数，在(1，+∞)上是增函数．

由，可得，

所以有，即．∴　　　

故，即

(2)不存在满足条件的实数．

若存在满足条件的实数，使得函数的定义域、值域都是[]，则．由

①当∈(0，1)时，在(0，1)上为减函数．

故，即，解得．

故此时不存在适合条件的实数．

②当∈时，在(1，+∞)上为增函数．故，即

此时是方程的根，由于此方程无实根．

故此时不存在适合条件的实数．

③当∈(0，1)，时，由于1∈[]，而，故此时不存在适合条件的实数．

综上可知，不存在适合条件的实数．

(3)若存在实数，使得函数的定义域为[]时，值域为，则．

①当∈(0，1)时，由于在(0，1)上是减函数，值域为，

即　 解得a＝b>0，不合题意，所以不存在．

②当时，由(2)知0在值域内，值域不可能是，所以不存在．故只有．

∵在(1，+∞)上是增函数，∴，即

是方程有两个根．

即关于x的方程有两个大于1的实根．

设这两个根为．则

∴即

解得．　　

综上m的取值范围是．

[例4]设a为实数，设函数的最大值为g(a)。

(Ⅰ)设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；

(Ⅱ)求g(a)；

解：(I)∵t=+,

∴要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1.

∵t²=2+2∈[2,4],t≥0,　　　　　 ①

∴t的取值范围是[,2].

由①得=t²-1,

∴m(t)=a(t²-1)+t=at²+t-a,t∈[,2].

(Ⅱ)由题意知g(a)即为函数m(t)=at²+t-a, t∈[,2]的最大值.

注意到直线t=-是抛物线m(t)= at²+t-a的对称轴，分以下几种情况讨论.

(1)当a>0时，函数y=m(t), t∈[,2]的图像是开口向上的抛物线的一段，由

t=-<0知m(t)在[,2]上单调递增,

∴g(a)=m(2)=a+2.

(2)当a=0时，m(t)=t,t∈[,2], ∴g(a)=2.

(3)当a<0时，函数y=m(t), t∈[,2]的图像是开口向下的抛物线的一段.

若t=-∈(0,]，即a≤-，则g(a)=m()=.

若t=-∈(,2]，即a∈(-,-则g(a)=m(-)=-a-.

若t=-∈(2,+ ∞)，即a∈(-,0),则g(a)=m(2)=a+2.

综上有g(a)=

核心步骤:(1) m(t)=a(t²-1)+t=at²+t-a,t∈[,2].

(2)求g(a)=[m(t)]_max,按对称轴相对于区间[,2]的位置,对a分类分类讨论.

[研讨.欣赏](2000全国)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．

(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=；

　 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=；

(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？

(注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天)

解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为

f(t)=

由图二可得种植成本与时间的函数关系为

g(t)=(t－150)²+100，0≤t≤300．

(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得

h(t)=f(t)－g(t)

即h(t)=

当0≤t≤200时，配方整理得

h(t)=－(t－50)²+100，

所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；

当200<t≤300时，配方整理得

h(t)=－(t－350)²+100

所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5．

综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．

思路点拨: 题(Ⅱ)分段写出收益与时间的函数关系h(t), 是分段函数,再分段求最值.

7.;8. 当x≥0时，x²+1≥1；当x<0时，－x²<0原函数值域是[1,+∞]∪(－∞,0)。

6. 由，

如右图　

5. f(lg30－lg3)=f(lg10)=f(1)=－2，

f(x－1)=

当x≥3时，x(x－3)＜10－2＜x＜5，故3≤x＜5.

当x＜3时，－2x＜10x＞－5，故－5＜x＜3.解集 {x|－5＜x＜5}

4.x=10时,取最小值90.f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-19|

=|x-1|+…+|x-10|+|11-x|+…+|19-x|

≥|x-1+x-2+…x-9+11-x+…19-x|+|x-10|

≥|90|+0=90,　 当x=10时取等号.一般地:…