25. 解排列组合问题有哪些规律 ?

答 : 解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法．

图 2

? Ａ．ＳＧ ⊥△ ＥＦＧ所在平面
? Ｂ．ＳＤ ⊥△ ＥＦＧ所在平面
? Ｃ．ＧＦ ⊥△ ＳＥＦ所在平面
? Ｄ．ＧＤ ⊥△ ＳＥＦ所在平面
? 这道题虽然涉及 “ 四面体 ” 的概念，实际上主要是用来巩固直线和平面垂直的判定定理和培养学生的空间想象能力．已知的是一个正方形，那么ＳＧ １ ⊥ Ｇ １ Ｅ，ＥＧ ２ ⊥ Ｇ ２ Ｆ，ＦＧ ３ ⊥ Ｇ ３ Ｓ，这些条件在折叠后仍然不变．这一点应是学生解决这一问题的主要思路．
? 根据这一点，可以看出，折叠后得到的四面体Ｓ－ＥＦＧ中，一定有ＳＧ ⊥ ＧＥ，且ＳＧ ⊥ ＧＦ，即ＳＧ ⊥△ ＥＦＧ所在平面．于是应该选Ａ．

图 1

? 这里所谓的 “ 坐标化 ” ，就是把轨迹条件中的各个数、量用动点坐标表示出来．轨迹条件可以表现为不同的形式，其中使它转化为有利于坐标化的形式正是困难所在．

21 ．关于直线和圆锥曲线的关系，主要有哪些问题 ?
? 答： （ 1 ）直线和圆锥曲线位置关系的制定；
? （ 2 ）切线方程及与相切有关的问题；
? （ 3 ）弦长及与弦长有关的问题；
? （ 4 ）弦的中点及与此有关的问题；
? （ 5 ）曲线关于直线对称的问题．

22 ．在解决与圆锥曲线有关的问题时，怎样帮助学生运用函数的思想 ?
? 答： 不少与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系．这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果．

23 ．设ａ、ｂ是平面 α 外的任意两条线段，ａ、ｂ相等能否推出它们在 α 内的射影相等 ? 反过来呢 ?
? 答：设长度为ｄ的线段所在直线与平面 α 所成的角为 θ ，其射影的长度为ｄ ′ ，那么ｄ ′ ＝ｄ ? ｃｏｓ θ ．因此，决定射影的长度的因素除了线段的长度ｄ外，还有直线和平面所成的角．
? 当ａ＝ｂ，但ａ、ｂ与平面 α 所成的角 θ １ 、 θ ２ 不相等时，ａ、ｂ在平面内的射影ａ ′ 、ｂ ′ 不一定相等．
? 反过来，当ａ、ｂ在平面内的射影ａ ′ 、ｂ ′ 相等，但ａ、ｂ与平面 α 所成的角 θ １ 、 θ ２ 不相等时，ａ、ｂ也不一定相等．
24 ．怎样通过 “ 折叠问题 ” 来提高空间想象能力和巩固他们相关的立体几何知识 ?
? 答：一般地说，这里的问题常常是把一个已知的平面图形折叠成一个立体图形（相反的问题是 “ 展平问题 ” ，即把一个已知的立体图形展平成一个平面图形）．这就要求学生认清平面图形中各已知条件的相互关系及其本质，并且在把这一平面图形折叠成立体图形以后，能分清已知条件中有哪些发生了变化，哪些未发生变化．这些未变化的已知条件都是学生分析问题和解决问题的依据．
? 例如选择题：如图 2 （ 1 ），在正方形ＳＧ １ Ｇ ２ Ｇ ３ 中，Ｅ，Ｆ分别是Ｇ １ Ｇ ２ 及Ｇ ２ Ｇ ３ 的中点，Ｄ是ＥＦ的中点，现在沿ＳＥ，ＳＦ及ＥＦ把这个正方形折成一个由四个三角形围成的 “ 四面体 ” ，使Ｇ １ ，Ｇ ２ ，Ｇ ３ 三点重合，重合后的点记为Ｇ（图 2 （ 2 ）），那么在四面体Ｓ－ＥＦＧ中必有（　　）．

18 ．证明不等式可以运用哪些常用的数学方法 ?
　　 答：（ 1 ）分析法．从要证明的不等式出发，寻找使这个不等式成立的某一充分条件，如此逐步往前追溯（执果索因），一直追溯到已知条件或一些真命题为止．例如要证ａ ２ ＋ｂ ２ ≥2 ａｂ，我们通过分析知道，ａ ２ ＋ｂ ２ ≥2 ａｂ的某一充分条件是ａ ２ － 2 ａｂ＋ｂ ２ ≥0 ，即（ａ－ｂ） ２ ≥0 ，因此只要证明（ａ－ｂ） ２ ≥0 就行了．由于（ａ－ｂ） ２ ≥0 是真命题，所以ａ ２ ＋ｂ ２ ≥2 ａｂ成立．分析法的证明过程表现为一连串的 “ 要证 …… 只要证 ……” ，最后推至已知条件或真命题．
　　 （ 2 ）综合法．从已知（已经成立）的不等式或定理出发，逐步推出（由因导果）所证的不等式成立．例如要证ａ ２ ＋ｂ ２ ≥2 ａｂ，我们从（ａ－ｂ） ２ ≥0 ，得ａ ２ － 2 ａｂ＋ｂ ２ ≥0 ，移项得ａ ２ ＋ｂ ２ ≥2 ａｂ．综合法的证明过程表现为一连串的 “ 因为 …… 所以 ……” ，可用一连串的 “ ” 来代替．
　　 综合法的证明过程是分析法的思考过程的逆推，而分析法的证明过程恰恰是综合法的思考过程．当我们不易找到作为出发点的不等式来证明结论时，通常改用分析法来证明．
　　 （ 3 ）比较法．根据ａ＞ｂ与ａ－ｂ＞ 0 等价，所以要证甲式大于乙式，只要证明甲式减去乙式所得的差式在两式中的字母的可取值范围内取正值就可以了．这就是比差法．还有一种比较法是比商法，例如已知甲式、乙式在其中字母的可取值范围内均取正值，那么要证甲式大于乙式，只要证明甲式除以乙式所得的商式在这一字母取值范围内均取大于 1 的值就可以了．比商法较为复杂，使用时务必注意字母的取值范围．
　　 （ 4 ）逆证法．这是分析法的一种特殊情况，即从要证明的等式出发，寻找使这个不等式成立的充要条件，如此逐步往前追溯，一直追溯到已知条件或一些真命题为止．逆证法的证明过程表现为一连串的 “ 即 ” ，可用一连串的 “?” 来代替，最后推至已知条件或真命题．
　　 （ 5 ）放缩法．这也是分析法的一种特殊情况，它的根据是不等式关系的传递性 ―― ａ ≤ ｂ，ｂ ≤ ｃ，则ａ ≤ ｃ，所以要证ａ ≤ ｃ，只要证明 “ 大于或等于ａ ” 的ｂ ≤ ｃ就行了．

（ 6 ）反证法．先假定要证的不等式的反面成立，然后推出与已知条件（或已知的真命题）相矛盾的结论，从而断定反证假定是错误的．因而要证的不等式一定成立．
　　 （ 7 ）穷举法．对要证的不等式按已知条件分成各种情况一一加以证明（防止重复或遗漏某一可能情况）．
　　 要注意：在证明不等式时，应灵活运用上述方法，并通过运用多种方法来提高他们的思维能力．

19 ．怎样教讨论曲线的性质 ?
　　 答：在中学里，除了直线这种简单的情况外，对于较为简单的曲线，讨论其几何性质一般包括以下四个方面：
　　 （ 1 ）确定曲线的范围．由曲线方程Ｆ（ｘ，ｙ）＝０分别确定变量ｘ与ｙ的取值范围，从而分别判断曲线的左、右与上、下部分的 “ 顶点 ” 的分布情况．
　　 （ 2 ）判断有没有对称性．在曲线方程Ｆ（ｘ，ｙ）＝０中，如果把ｘ（或ｙ）换成－ｘ（或－ｙ），方程不变，那么曲线关于ｙ（或ｘ）轴对称；如果把ｘ与ｙ同时换成－ｘ与－ｙ，方程不变，那么曲线关于原点对称（这时曲线关于ｘ轴或ｙ轴却不一定对称）．
　　 （ 3 ）求出在ｘ轴上的 “ 截距 ” （即求出曲线与ｘ轴的交点的横坐标）和ｙ轴上的 “ 截距 ” （即求出曲线与ｙ轴的交点的纵坐标）．这可以通过解由Ｆ（ｘ，ｙ）＝０与ｙ＝０（或ｘ＝０）所组成的方程组求得．注意曲线与坐标轴的交点不一定是曲线的 “ 顶点 ” ．
　　 （ 4 ）判断有没有渐近线．对于椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线，还要研究它的离心率在数值上有什么特征，等等．
20 ．求轨迹方程的基本方法是什么 ?
? 答： 轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了．因此，求轨迹方程的基本方法是（图 1 ）

③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取植范围分别是

② 直线的倾斜角、 到 的角、 与 的夹角的取值范围依次是 ．

① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是 .

17. 在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？

12 ．等差数列有哪些基本性质？
    答：（ 1 ）当ｄ＞ 0 时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当ｄ＜ 0 时，等差数列中的数随项数的减小而减小；当ｄ＝ 0 时，等差数列中的数等于一个常数．注意：不能说等差数列或它的通项公式是一次函数，等差数列只是某个一次函数的一系列孤立的函数值；一次函数是有严格定义的，它的定义域是实数集Ｒ，图象是（连续的）一条直线．这是目前教学中普遍出错的地方 !
    （ 2 ）在有穷的等差数列中，与首末两项等距离的两项的和都相等，且等于首末两项的和．
    （ 3 ）如果ｍ＋ｎ＝ｐ＋ｑ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ都是正整数，那么ａ ｍ ＋ａ ｎ ＝ａ ｐ ＋ａ ｑ ）。  
    （ 4 ）如果等差数列的各项都加上一个相同的数，那么所得的数列仍是等差数列，且公差不变．
    （ 5 ）两个等差数列各对应项的和组成的数列仍是等差数列，且公差等于这两个数列的公差的和．
13 ．等比数列有哪些基本性质？
    答：（ 1 ）当ｑ＞ 1 时，如果存在一项ａ＞ 0 （或＜ 0 ），那么等比数列中的数随项数的增大而增大（或减小）；当 0 ＜ｑ＜ 1 时，如果存在一项ａ＞ 0 （或＜ 0 ），那么等比数列中的数随项数的增大而减小（或增大）；当ｑ＝ 1 时，等比数列中的数等于同一个常数；当ｑ＜ 0 时，等比数列中的数不具有单调性．
    （ 2 ）在有穷的等比数列中，与首末两项等距离的两项的积都相等，且等于首末两项的积．
    （ 3 ）如果ｍ＋ｎ＝ｐ＋ｑ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ都是正整数），那么ａ ｍ ? ａ ｎ ＝ａ ｐ ? ａ ｑ ．
    （ 4 ）如果数列｛ａ ｎ ｝是等比数列，那么它所有的项都不等于 0 ，且所有的ａ ｎ ? ａ n ＋ 2 ＞ 0 ．
    （ 5 ）如果数列｛ａ ｎ ｝是等比数列，那么数列｛ｃａ ｎ ｝（ｃ为常数），｛ａ ｎ － 1 ｝，｛｜ａ ｎ ｜｝也都是等比数列，且其中｛ｃａ ｎ ｝的公比不变，｛ａ ｎ － 1 ｝的公比等于原公比的倒数，｛｜ａ ｎ ｜｝的公比等于原公比的绝对值．
    （ 6 ）两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．
14 ．为什么当 λ ， μ 为实数时，有 λ （ μ ａ）＝ μ （ λ ａ）＝（ λμ ）ａ？
　　答：这是因为由实数与向量的积的定义可知，向量 λ （ μ ａ）， μ （ λ ａ），（ λμ ）ａ是互相平行的向量，它们的方向也相同，且
|λ （ μ ａ） | ＝ |μ （ λ ａ） | ＝ | （ λμ ）ａ | ＝ |λμ|?| ａ | ，
　　 所以 λ （ μ ａ）＝ μ （ λ ａ）＝（ λμ ）ａ（＝（ μλ ）ａ）．
　　 这个运算律叫做向量数乘的结合律．
15. 平面向量基本定理的实质是什么？
　　 答：平面向量基本定理指出：如果ｅ 1 ，ｅ 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量ａ，有且只有一对实数 λ 1 ， λ 2 ，使ａ＝ λ 1 ｅ 1 ＋ λ 2 ｅ 2 ．
　　 这个定理告诉我们，平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是惟一的．
λ ｅ 1 ＋ λ ｅ 2 叫做ｅ 1 ，ｅ 2 的一个线性组合．由平面向量基本定理可知，如果ｅ 1 ，ｅ 2 不共线，那么由ｅ 1 ，ｅ 2 的所有线性组合构成的集合｛ λ 1 ｅ 1 ＋ λ 2 ｅ 2 |λ 1 ， λ 2 ∈ Ｒ｝就是平面内的全体向量．所以，我们把ｅ 1 ，ｅ 2 （最好写成｛ｅ 1 ，ｅ 2 ｝，注意花括弧中ｅ 1 ，ｅ 2 之间必须用逗号）叫做这一平面内所有向量的一组基底，并把基底中的向量叫做基向量． 向量的合成与分解在物理学和工程技术中有着广泛的应用．
16 ．怎样归纳确定三角形形状的思路 ?
答： 我们知道，三角形的形状，以角的大小为标准，可以确定其中的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；以边长的关系为标准，可以确定其中的等腰三角形、等边三角形、直角三角形（包括等腰直角三角形）．用三角知识确定三角形形状的思路如下表所示：

三角形形状

确定三角形形状的思路

锐角三角形（如Ｃ为锐角）

ｃｏｓＣ＞ 0 ，或ｔａｎＣ＞ 0 ；或ａ 2 ＋ｂ 2 ＞ｃ 2

直角三角形（如Ｃ为直角）

ｃｏｓＣ＝ 0 ，或ｓｉｎＣ＝ 1 ；或ａ 2 ＋ｂ 2 ＝ｃ 2

钝角三角形（如Ｃ为钝角）

ｃｏｓＣ＜ 0 ，或ｔａｎＣ＜ 0 ；或ａ 2 ＋ｂ 2 ＜ｃ 2

等腰三角形（如边ｂ，ｃ）

Ｂ＝Ｃ；或ｂ＝ｃ

等边三角形

Ａ＝Ｂ＝Ｃ；或ａ＝ｂ＝ｃ

函数 的图象是把函数 的图象沿 y 轴伸缩为原来的 a 倍得到的 .

11 ．求一个数列的通项公式时，有哪些基本方法？
    答：有以下四种基本方法：
    （ 1 ）直接法．就是由已知数列的项直接写出，或通过对已知数列的项进行代数运算写出．
    （ 2 ）观察分析法．根据数列构成的规律，观察数列的各项与它所对应的项数之间的内在联系，经过适当变形，进而写出第ｎ项ａ ｎ 的表达式即通项公式．
    （ 3 ）待定系数法．求通项公式的问题，就是当ｎ＝ 1 ， 2 ， … 时求ｆ（ｎ），使ｆ（ｎ）依次等于ａ 1 ，ａ 2 ， … 的问题．因此我们可以先设出第ｎ项ａ ｎ 关于变数ｎ的表达式，再分别令ｎ＝ 1 ， 2 ， … ，并取ａ ｎ 分别等于ａ 1 ，ａ 2 ， … ，然后通过解方程组确定待定系数的值，从而得出符合条件的通项公式．
    （ 4 ）递推归纳法．根据已知数列的初始条件及递推公式，归纳出通项公式．