20、(温州十校2008学年度第一学期期中高三数学试题(理))(本小题满分14分)

已知向量，

，且。

(1)求m的值；　　

(2)求函数的最小值及此时值的集合．

解：(1)．　　 ……………3分

∵∴∴m=1　　　 ……………6分

(2)∵m=1，∴

　　　　 ……………11分

∴当时，即时，

．　　　 　　　　　　　　　　　　　　……………14分

19、(绍兴市2008学年第一学期统考数学试题)已知向量，

(1)若求的值；

(2)设，求的取值范围.

解析：(1)因

，，两边平方得，

(2)因，又，的取值范围为.

18、(2009年浙江省杭州市第一次高考科目教学质量检测数学试题)已知向量.

(Ⅰ) 求 f ()的值；

(Ⅱ)求时，f (x)的单调递增区间.

解：(Ⅰ) ,　　　　　　　 --- 3分

_{--- 3分}

(Ⅱ) ,　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　--- 3分

当()时，f(x)单增，　　　　　　 --- 2分

即()　 ∵,

∴ 在上的单调递增区间为.　　　　　　　　　　　 - 3分

17、(2008-2009学年上学期期中高三数学试题)(14分)已知=61，

求：(1)向量与的夹角θ；　　 (2)

解：①向量与的夹角θ=120°…………8分　

②=............................14分

16、(2008学年第一学期十校高三期末联考)已知向量．

(Ⅰ) 当时，求的值；

(Ⅱ)求函数的最小正周期。

解:(Ⅰ)由已知得　　

＝…………7分

(Ⅱ)

所以

15、(重庆市万州区2009级高三第一次诊断性试题)已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点P满足：，且.

(I)求动点P的轨迹G的方程；

(II)过点B的直线与轨迹G交于两点M，N.试问在x轴上是否存在定点C ,使得 为常数.若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由.

解：(Ⅰ)由余弦定理得：　 ……1分

即16＝

＝＝

所以，

即　 ……………………………………………4分

(当动点P与两定点A,B共线时也符合上述结论)

所以动点P的轨迹为以A,B为焦点，实轴长为的双曲线

所以，轨迹G的方程为　　　　 …………………………………………6分

(Ⅱ)假设存在定点C(m,0),使为常数.

①当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为

　 …………………………………………7分

由题意知，

设，则，　 …………………8分

于是

∴

＝ ………………9分

＝

要是使得 为常数，当且仅当，此时 ………………11分

②当直线l与x轴垂直时，,当时.

　故，在x轴上存在定点C(1,0) ,使得 为常数. …………………………12分

14、(重庆市万州区2009级高三第一次诊断性试题)已知向量

(Ⅰ)当时，求函数的值域；

(Ⅱ)若的值.

解：(Ⅰ)由………4分

∵

∴的值域为[－1，2]　　　　　 ……………………7分

(Ⅱ)∵

∴

∴　　　　　　　　　 ………………10分

∴………………13分

13、(郓城实验中学·理科)在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足.

　 　(1)求线段PP′中点M的轨迹C的方程；

　 　　　　(2)过点Q(－2,0)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点，且以 为方向向量的直线上一动点，满足(O为坐标原点)，问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

(解)(1)设M(x，y)是所求曲线上的任意一点，P(x₁，y₁)是方程x² +y² =4的圆上的任意一点，则

　　 则有：得，

　　 轨迹C的方程为

　 (1)当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点.

　　 所以设直线l的方程为y = k(x+2)，与椭圆交于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)两点，N点所在直线方程为

　　 由

　　 由△=

　　 即 …　　

　　 即，∴四边形OANB为平行四边形

　　 假设存在矩形OANB，则，即，

　　 即，

　　 于是有　　 得 …

设，

即点N在直线上.

　∴存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为

12、(烟台·理科)设函数

　 (1)求函数上的单调递增区间；

　 (2)当的取值范围。

(解)(1)，…………2分

　 (2)当，

11、(烟台·理科)设向量在[0，1]上的最大值与最小值的和为a_n,又数列满足:

　 (1)求证：；

　 (2)求的表达式；

　 (3)中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有成立？证明你的结论。

(解)(1)证明：　

所以在[0，1]上为增函数，　 …………4分

　 (2)解：由

　 (3)解：由(1)与(2)得 …………10分

设存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有成立，

所以存在正整数k=9，使得对于任意的正整数n，都有成立。…………14分