2.(2008·全国Ⅰ理，8)为得到函数y=cos的图象，只需将函数y=sin2x的图象向　　　　 平移　　　 个单位长度.

答案　 左　

1.某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为　　　　　　　 .

答案　 y=cos

20.(16分)已知点M(x₁,f(x₁))是函数f(x)=,x∈(0,+∞)图象C上的一点，记曲线C在点M处的切线为l.

(1)求切线l的方程；

(2)设l与x轴，y轴的交点分别为A、B，求△AOB周长的最小值.

解　 (1)f′(x)=-,∴k=f′(x₁)=-.

∴切线方程为y-=-(x-x₁),

即y=-x+.

(2)在y=-x+中，令y=0得x=2x₁,

∴A(2x₁,0).令x=0，得y=,∴B.

∴△AOB的周长m=2x₁++.

∴m=2,x₁∈(0,+∞).

令t=x₁+,∵x₁∈(0,+∞),∴t≥2.

∴当t=2，即x₁=1时，m_最小=2(2+).

故△AOB周长的最小值是4+2.

19.(16分)某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用

m万元(m≥0)满足x=3-(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).

(1)将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.

解　 (1)由题意可知当m=0时，x=1(万件),

∴1=3-kk=2.∴x=3-.

每件产品的销售价格为1.5×(元)，

∴2008年的利润y=x·-(8+16x+m)

=4+8x-m=4+8-m

=-+29(m≥0).

(2)∵m≥0时，+(m+1)≥2=8,

∴y≤-8+29=21,当且仅当=m+1m=3(万元)时，y_max=21(万元).

18.(16分)设f(x)是定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数且在(-∞,0)上为增函数.

(1)若m·n＜0,m+n≤0,求证：f(m)+f(n)≤0;

(2)若f(1)=0,解关于x的不等式f(x²-2x-2)＞0.

(1)证明　 ∵m·n＜0,m+n≤0，∴m、n一正一负.

不妨设m＞0,n＜0,则n≤-m＜0.取n=-m＜0,

∵函数f(x)在(-∞,0)上为增函数，

则f(n)=f(-m)；取n＜-m＜0，同理

f(n)＜f(-m)∴f(n)≤f(-m).

又函数f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数，

∴f(-m)=-f(m).∴f(n)+f(m)≤0.

(2)解　 ∵f(1)=0，f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数，∴f(-1)=0，

∴原不等式可化为或.

易证：f(x)在(0,+∞)上为增函数.

∴或.

∴x²-2x-3＞0或.

解得x＞3或x＜-1或.

∴不等式的解集为

(-∞，-1)∪(1-，1-)∪(1+，1+)∪(3，+∞).

17.(14分)函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0.

(1)求f(0);

(2)求f(x);

(3)不等式f(x)＞ax-5当0＜x＜2时恒成立，求a的取值范围.

解　 (1)令x=1,y=0,

得f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)·1=2,

∴f(0)=f(1)-2=-2.

(2)令y=0,f(x+0)-f(0)=(x+2×0+1)·x=x²+x,

∴f(x)=x²+x-2.

(3)f(x)＞ax-5化为x²+x-2＞ax-5,

ax＜x²+x+3,∵x∈(0,2),

∴a＜=1+x+.

当x∈(0,2)时，1+x+≥1+2,当且仅当x=,即x=时取等号，由∈(0,2)，得=1+2.

∴a＜1+2.

16.(2008·苏南四市模拟)(14分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x),g(x)以及任意的x≥0，当甲公司投入x万元做宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元做宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险.

(1)试解释f(0)=10,g(0)=20的实际意义；

(2)设f(x)= x+10,g(x)=+20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？

解　 (1)f(0)=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入10万元宣传费；g(0)=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费.

(2)设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，依题意，当且仅当

双方均无失败的风险.

由①②得y≥(+20)+10,即4y--60≥0,

即(-4)(4+15)≥0.

∵≥0,∴4+15＞0.

∴≥4.∴y≥16.∴x≥+20≥4+20=24.

∴x_min=24,y_min=16,

即在双方均无失败风险的情况下，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元.

15.(2008·石家庄模拟)(14分)已知a=(1,x),b=(x²+x,-x),m为常数且m≤-2,求使不等式a·b+2＞m成立

的x的范围.

解　 ∵a=(1，x)，b=(x²+x，-x)，

∴a·b=x²+x-x²=x.

由a·b+2＞m

?x+2＞m(x+2)-m＞0

?x(x+2)(x-m)＞0(m≤-2).

①当m=-2时，原不等式x(x+2)²＞0x＞0;

②当m＜-2时，原不等式m＜x＜-2或x＞0.

综上，得m=-2时，x的取值范围是(0，+∞)；

m＜-2时，x的取值范围是(m，-2)∪(0，+∞).

14.对于0≤m≤4的m，不等式x²+mx＞4x+m-3恒成立，则x的取值范围是　　　　　 .

答案　 x＜-1或x＞3

解析 　∵x²-4x+3+m(x-1)＞0,

即(x-1)(x-3+m)＞0对0≤m≤4恒成立，

∴或

∴x＜-1或x＞3.

13.已知，则(x+1)²+(y+1)²的最小值和最大值分别是　　　　 .

答案　 13,41