17(本小题满分10分)

设的内角、、的对边长分别为、、，，，求。

分析：由，易想到先将代入得_。然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。

也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。

评析：本小题考生得分易，但得满分难。

18(本小题满分12分)

　　 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面 　　　　　

(I)证明：

(II)设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。

(I)分析一：连结BE，为直三棱柱，

为的中点，。又平面，

(射影相等的两条斜线段相等)而平面，

(相等的斜线段的射影相等)。

分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进而证∥，，得也可。

分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。

(II)分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。

作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得.

　 设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得　

即与平面所成的角为

分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。。以下略。

分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。

19(本小题满分12分)

设数列的前项和为 已知

(I)设，证明数列是等比数列　　　

(II)求数列的通项公式。

解：(I)由及，有

由，．．．① 　则当时，有．．．．．②

②－①得

又，是首项，公比为2的等比数列．

(II)由(I)可得，

　　数列是首项为，公差为的等比数列．

　　，

评析：第(I)问思路明确，只需利用已知条件寻找．

第(II)问中由(I)易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以．

总体来说，09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列(全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法)，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

20(本小题满分12分)

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。

(I)求从甲、乙两组各抽取的人数；　　　

(II)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

(III)记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。　 　　　　　　

分析：(I)这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。

(II)在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。

　从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率

(III)的可能取值为0，1，2，3

，，

，

分布列及期望略。

评析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。在计算时，采用分类的方法，用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。

(21)(本小题满分12分)

　 已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 　　　　　

　 (I)求，的值；

　 (II)上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？

若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。

解:(I)设，直线，由坐标原点到的距离为

　则，解得 .又.

(II)由(I)知椭圆的方程为.设、

由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设

代入椭圆的方程中整理得，显然。

由韦达定理有：．．．．．．．．①

.假设存在点P，使成立，则其充要条件为：

点，点P在椭圆上，即。

整理得。　 　　　　　　

又在椭圆上，即.

故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

将及①代入②解得

,=,即.

当;

当.

评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。

22.(本小题满分12分)

设函数有两个极值点，且

(I)求的取值范围，并讨论的单调性；

(II)证明： 　　　　　

解: (I)

　 令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得

⑴当时，在内为增函数；

⑵当时，在内为减函数；

⑶当时，在内为增函数；

(II)由(I)，

设，

则

⑴当时，在单调递增；

⑵当时，，在单调递减。

故．　 　　　　　　

16. 已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为　　　　　　　　 。

解：设圆心到的距离分别为,则.

四边形的面积

15.设是球的半径，是的中点，过且与成45°角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于 .

解：设球半径为，圆的半径为，

　　 因为。由得.故球的表面积等于.

14. 设等差数列的前项和为，若则　　 9　　　 . 　　　　　

解：为等差数列，

13. 的展开式中的系数为　　　 6　　　　　 。

解：，只需求展开式中的含项的系数： 　 　　　　　　

(17)(本小题满分10分)

已知等差数列{}中，求{}前n项和. 　 　

(18)(本小题满分12分)

设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.

(19)(本小题满分12分)　 　

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC,D、E分别为AA₁、B₁C的中点，DE⊥平面BCC₁

(Ⅰ)证明：AB=AC 　 　

(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°,求B₁C与平面BCD所成的角的大小

(20)(本小题满分12分)

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样(层内采用不放回简单随即抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。

(Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数；

(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

(Ⅲ)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。　 　

(21)(本小题满分12分)

设函数　　　　　　　　　　　　　　　 ，其中常数a>1

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。

　 　

(22)(本小题满分12分)

已知椭圆C:　　　　　　　 　　　的离心率为　　　 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B

　　　　　　

两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为

(Ⅰ)求a,b的值；

(Ⅱ)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？

若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。

2009年普通高等学校招生全国统一考试

(13)设等比数列{}的前n项和为。若，则=　　 ×　　　　

(14)的展开式中的系数为　　 ×　　　　 　 　

(15)已知圆O：和点A(1，2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于　　 ×　　　　

(16)设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于　　 ×　　 　　

(1)已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则C_u( MN)=

(A) {5，7}　　 (B) {2，4}　　　 (C){2.4.8}　　 (D){1，3，5，6，7}

(2)函数y=(x0)的反函数是

　　 (A)(x0)　　　　　　　　 (B)(x0)

　　 (B)(x0)　　　　　　　　 (D)(x0)

(3) 函数y=的图像

　 (A) 关于原点对称　　　　　　　　　　 (B)关于主线对称

　 (C) 关于轴对称　　　　　　　　　　 (D)关于直线对称

(4)已知△ABC中，，则

(A) 　　　　　　(B) 　　　　　　(C) 　　　　(D)

(5) 已知正四棱柱中，=，为重点，则异面直线

与所形成角的余弦值为

(A)　 　　　　(B) 　　　　　　(C) 　　　(D) 　 　

(6) 已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱= ，则︱b ︱=

　 (A)　　　　　　 (B)　　　 (C)5　　　　 (D)25

(7)设则

(A)　　 (B)　　 (C)　 (D)

(8)双曲线的渐近线与圆相切，则r=

(A)　　　 (B)2　　　 (C)3　　　 (D)6

(9)若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为

(A)　　　 　　　(B)　　 　　　(C)　 　　　　(D) 　 　

(10)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有

(A)6种　　　 (B)12种　　 (C)24种　 　(D)30种

(11)已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k=

(A)　　　 　　　(B)　　 　　　(C)　 　　　　(D)

(12)纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是

(A)南　　　 (B)北　　　　 (C)西　　　　 (D)下

　　　　　　　　　　 　 　

第Ⅱ卷(非选择题)

本卷共10小题，共90分。

(17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效)

设等差数列{}的前项和为，公比是正数的等比数列{}的前项和为，

已知的通项公式.

[解析]本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前项和，基础题。

解：设的公差为，数列的公比为，由题得

解得

∴。

(18)(本小题满分12分)(注意：在试用题卷上作答无效)

在中，内角A、b、c的对边长分别为a、b、c.已知，且，求b.

[解析]本小题考查正弦定理、余弦定理。

解：由余弦定理得，

∵，

∴，即。

由正弦定理及得

，

∴，即。

(19)(本小题满分12分)(注决：在试题卷上作答无效)

　 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。　　　　

(I)证明：是侧棱的中点；

求二面角的大小。(同理18)　　　　　　　　　

[解析]本小题考查空间里的线线关系、二面角，综合题。

(I)解法一：作∥交于N，作交于E，

连ME、NB，则面，,

设，则,

在中，。

在中由

解得，从而 M为侧棱的中点M.

解法二:过作的平行线.

(II)分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.

法二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，则即为所求二面角.

解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D-xyz，则。

(Ⅰ)设，则

，

，由题得

，即

解之个方程组得即

所以是侧棱的中点。　

法2：设，则

又

故，即

，解得，

所以是侧棱的中点。

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，又，，

设分别是平面、的法向量，则

且，即且

分别令得，即

，

∴ 　

二面角的大小。

(20)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。

(Ⅰ)求再赛2局结束这次比赛的概率；

(Ⅱ)求甲获得这次比赛胜利的概率。

[解析]本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。

解：记“第局甲获胜”为事件，“第局甲获胜”为事件。

(Ⅰ)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则

，由于各局比赛结果相互独立，故

。

(Ⅱ)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而

，由于各局比赛结果相互独立，故

(21)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)　

　　 已知函数.

　　 (Ⅰ)讨论的单调性；

　　 (Ⅱ)设点P在曲线上，若该曲线在点P处的切线通过坐标原点，求的方程

[解析]本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。

解：(Ⅰ)

令得或；

令得或

因此，在区间和为增函数；在区间和为减函数。

(Ⅱ)设点，由过原点知，的方程为，

因此，即，整理得

，解得或。

所以的方程为或 　

　(22)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)

　 如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。

(Ⅰ)求r的取值范围

(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。

解：(Ⅰ)将抛物线代入圆的方程，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．(1)

抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程(1)有两个不相等的正根

∴即。解这个方程组得

.

(II)　 设四个交点的坐标分别为、、、。

则由(I)根据韦达定理有，

则

　

令，则 　　下面求的最大值。

方法1：由三次均值有：

　　　

　　 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。

法2：设四个交点的坐标分别为、、、

则直线AC、BD的方程分别为

解得点P的坐标为。

设，由及(Ⅰ)得 　

由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积

则将，代入上式，并令，等

，

∴，

令得，或(舍去)

当时，；当时；当时，

故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为。

(注意：在试题卷上作答无效)

(13)的展开式中，的系数与的系数之和等于_____________.

[解析]本小题考查二项展开式通项、基础题。(同理13)

解: 因所以有 w.w.w.k.s.5.u.c。

(14)设等差数列的前项和为。若，则_______________.

[解析]本小题考查等差数列的性质、前项和，基础题。(同理14)

解: 是等差数列,由,得

。

(15)已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于__________________.

[解析]本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。

解：设球半径为，圆M的半径为，则，即由题得，所以。

(16)若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是

　　　　 ①　 ②　 ③　 ④　　 ⑤ 　

其中正确答案的序号是　　　　　 .(写出所有正确答案的序号)

[解析]本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。

解：两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。故填写①或⑤