分析反应原理：
1．二氧化氮跟水反应：3NO2+H2O=2HNO3+NO
[演示实验]二氧化氮跟水反应。装置如下图所示(一支10mL量筒)。
(1)轻轻摇动量筒，观察现象(水位逐渐上升，红棕色逐渐变浅)。
(2)用大拇指按住量筒口，取出量筒倒转振荡，再插入水中，观察现象。(水位迅速上升至量筒容积约
，剩余
体积的无色气体)。
(3)将量筒口用橡胶塞塞住，从水中取出量筒，往量筒中滴入紫色石蕊试液，观察现象(溶液变红)。
通过以上实验的分析引出下列问题。
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级数的概念及其性质 |
我们在中学里已经遇到过级数--等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。下面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。
无穷级数的概念
设已给数列a1,a2,…,an,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子a1+a2+…+an+…称为无穷级数，简称级数.记作： 或 ，即：=a1+a2+…+an+…，数列的各项a1,a2,…称为级数的项，an称为级数的通项.
取级数最前的一项，两项，…，n项，…相加，得一数列S1=a1，S2=a1+a2，…，Sn=a1+a2+…+an，… 这个数列的通项Sn=a1+a2+…+an称为级数的前n项的部分和，该数列称为级数的部分和数列。
如果级数的部分和数列收敛： ，那末就称该级数收敛，极限值S称为级数的和。
例题：证明级数： 的和是1.
证明：
当n→∞时，Sn→1.所以级数的和是1.
级数的性质 1.级数收敛的必要条件：收敛的级数 的通项an当n→∞时趋于零，即：
注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。
例如：级数 虽然在n→∞时，通项 ，级数却是发散的。
此级数为调和级数，在此我们不加以证明。
2.如果级数收敛而它的和是S，那末每一项乘上常数c后所得到的级数 ，也是收敛的，而且它的和是cS.如果发散，那末当c≠0时也发散。
3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。
4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。
注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。
5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。 |
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正项级数的收敛问题 |
对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。下面我们来学习如何确定级数的收敛和发散问题。
我们先来考虑正项级数(即每一项an≥0的级数)的收敛问题。
判定正项级数敛散性的基本定理
定理：正项级数收敛的充分与必要条件是部分和Sn上有界.如果Sn上无界，级数发散于正无穷大。
例如：p级数： ，当p>1时收敛，当p≤1时发散。
注意：在此我们不作证明。
正项级数的审敛准则
准则一：设有两个正项级数及 ，而且an≤bn(n=1,2,…).如果收敛，那末也收敛；如果发散，那末也发散.
例如：级数 是收敛的，因为当n>1时，有 ≤ ，而等比级数 是收敛的
准则二：设有两个正项级数与，如果 那末这两个级数或者同时收敛，或者同时发散。
关于此准则的补充问题
如果 ，那末当收敛时，也收敛；如果 ，那末当发散时，也发散.
例如： 是收敛的.因为 ，而 是收敛的.
注意：以上这两个准则来判定一个已知级数的敛散性，都需要另选一个收敛或发散的级数，以资比较.下面我们来学习两个只依赖于已知级数本身的审敛准则.
准则三：设有正项级数.如果极限 存在，那末当λ＜1时级数收敛，λ＞1时级数收敛.
注意：此准则就是达朗贝尔准则.这种判定方法称为检比法.
例如：级数 是收敛的，因为当n→∞时， .
准则四(柯西准则)：如果极限 存在，那末当λ＜1级数收敛，λ＞1级数发散.
例如：级数 是发散的，因为当n→∞时， |
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一般常数项级数的审敛准则 |
当级数中的正数项与负数项均为无穷多时，就称级数为一般常数项级数.
绝对收敛与条件收敛
设有一般常数项级数
取各项的绝对值所构成的级数
称为对应于原级数的绝对值级数.
绝对收敛的准则：如果对应的绝对值级数收敛，那末原级数也收敛.
注意：此时称为绝对收敛，
如果级数发散而级数收敛，
则称为条件收敛。
关于绝对收敛与条件收敛的问题
一个绝对收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是收敛的；
一个条件收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是发散的。
例题：证明：当λ>1时，级数 为一绝对收敛级数.
证明：因为 ≤ 而当λ>1时 收敛，故级数 收敛，从而级数绝对收敛.
交错级数与它的审敛准则
交错级数就是任一相邻的两项都是符号相反的数，它是一般常数项级数的一种特殊级数.
交错级数可以写成：
交错级数的审敛准则(莱布尼兹准则)：
如果 且，那末级数 收敛.
例如：交错级数 是收敛的，因为它满足莱布尼兹准则的两个条件： 及 |
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函数项级数、幂级数 |
在自然科学与工程技术中运用级数这一工具时，经常用到不是常数项的级数，而是函数项的级数.而常数项级数是研究函数项级数的基础。
函数项级数的概念
设有函数序列， ，其中每一个函数都在同一个区间I上有定义，那末表达式 称为定义在I上的函数项级数。
下面我们来学习常见而应用广泛的一种具有如下形式的函数项级数：
它们的各项都是正整数幂的幂函数.这种级数称为幂级数，其中cn(n=0,1,2,…)均为常数.
显然，当上面级数中的变量x取定了某一个值x0时，它就变为一个常数项级数。
幂级数的收敛问题
与常数项级数一样，我们把 称为幂级数的部分和。如果这部分和当n→∞时对区间I中的每一点都收敛，那末称级数在区间I收敛。此时sn(x)的极限是定义在区间I中的函数，记作:s(x). 这个函数s(x)称为级数的和函数，简称和，记作：
对于幂级数，我们关心的问题仍是它的收敛与发散的判定问题，下面我们来学习关于幂级数的收敛的判定准则。
幂级数的审敛准则
准则：设有幂级数 .如果极限 ，那末，当 时，幂级数收敛，而且绝对收敛；当 时，幂级数发散，其中R可以是零，也可以是+∞.
由上面的准则我们可知：幂级数的收敛区间是关于原点对称的区间.在这个区间内级数收敛，在这个区间外级数发散.区间称为幂级数的收敛区间，简称敛区。正数R为幂级数的收敛半径.
关于此审敛准则问题
讨论幂级数收敛的问题主要在于收敛半径的寻求。当 时，级数的敛散性不能由准则来判定，需另行讨论。
例题：求幂级数 的收敛区间.
解答：该级数的收敛半径为：
所以此幂级数的敛区是(-5，5).
在x=5与x=-5，级数分别为 前者发散，后者收敛.
故级数的收敛区间是[-5,5)
幂级数的性质
性质1：设有两个幂级数 与 ，如果
=f1(x)，-R1<x<R1
=f2(x)，-R2<x<R2
则 =f1(x)±f2(x)，-R<x<R 其中R=min(R1,R2)
性质2：幂级数的和s(x)在敛区内时连续的.
性质3：幂级数的和s(x)在敛区内的任一点均可导，且有逐项求导公式：
 =
求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。
性质4：幂级数的和s(x)在敛区内可以积分，并且有逐项积分公式：
积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径。
由以上这些性质可知：幂级数在其敛区内就像普通的多项式一样,可以相加,相减,可以逐项求导,逐项积分。 |
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函数的幂级数展开式 |
通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题：
问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数 ；
问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数cn(n=0,1,2,3,…)怎样确定？
下面我们就来学习这两个问题。
泰勒级数
我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数cn与f(x)应有怎样的关系。
由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。得：
 ，
 ，
………………………………………………
 ，
………………………………………………
在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得：
把这些所求的系数代入得：
该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数.
关于泰勒级数的问题
上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f(x)在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。
问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于f(x)？
函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差
是否随n→+∞而趋向于零.如果在某一区间I中有 那末f(x)在x=a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式.
泰勒定理
设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c在a与x之间，使得：
此公式也被称为泰勒公式。(在此不加以证明)
在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成：
其中c在0与x之间
此式子被称为麦克劳林公式。
函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式.
即：
几种初等函数的麦克劳林的展开式
1.指数函数ex
2.正弦函数的展开式
3.函数(1+x)m的展开式
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微分方程的基本概念 |
在许多科技领域里，常会遇到这样的问题：
某个函数是怎样的并不知道，但根据科技领域的普遍规律，却可以知道这个未知函数及其导数与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子：
例题：已知一条曲线过点(1,2)，且在该直线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程
解答：设所求曲线的方程为y=y(x)，我们根据导数的几何意义，可知y=y(x)应满足方程：
 我们发现这个方程中含有未知函数y的导数。这里我们先不求解。
微分方程的概念
我们把含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程。
在一个微分方程中所出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶。当然阶数越高的微分方程越麻烦。
从微分方程求出未知函数是什么就叫做解微分方程。满足微分方程的函数(它要在某区间上连续)称为微分方程的解，微分方程的一般形式的解称为微分方程的一般解.
满足微分方程的一个有特殊要求的解称为微分方程的一特解，这种特解通常是满足一定的附加条件的解。
通常，微分方程的一般解里，含有一些任意常数，其个数与微分方程的阶数相同，因此用来确定任意常数以从一般解得出一个特解的附加条件的个数也与微分方程的阶数相同. |
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可分离变量的微分方程与齐次方程 |
下面我们来学习用积分法解一阶微分方程的问题。
并不是所有的一阶微分方程都可以用积分法求解，只有一些特殊形式的一阶微分方程可以用积分法求解，并且解法也各不相同。因此，我们学习时要认清各种微分方程的特点及它们的解法。
可分离变量的微分方程
这种方程的形式为：
我们往往会以为将上式两端积分即可求解。其实是不对的。因为两端积分后，得 ，右端是什么也求不出的，所以求不出y来。
其正确解法为：设y=y(x)为所求的解，于是当y=y(x)时，有
 ，即
这一步把y的函数及dy与x的函数及dx分开了，称为分离变量，这是求解的关键的一步，下一步我们就可由不定积分换元法进行求解了。
例题：求方程 的通解。
解答：这是一个可分离变量的方程，分离变量后得
两端分别积分，得
令 ，得
这就是该方程的通解。
齐次微分方程
这种微分方程的形式为：
它也不能由两端积分求解。其求解步骤为：
令 ，则 ，y的微分方程就化成了u的微分方程
即：
这就化成了可分离变量的微分方程，再由上面我们所学的方法就可求出方程的通解。
例题：求方程 的特解。
解答：这是一个齐次方程。令y=ux代入，得
分离变量后，得
两端分别积分，得
或
其中
代回u=y/x，得原方程的通解为
将初始条件y(0)=1代入，得 C=1.
所以满足初始条件的特解为
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线性微分方程 |
线性微分方程
这种微分方程的形式为： ，其中，p,q与y,y'无关，但可以与x有关.它对y与y'而言是一次的，故被称之为一阶线性微分方程。
当q=0时称为齐次线性微分方程；当q≠0时称为非齐次线性微分方程。
齐次线性微分方程的解法
齐次线性微分方程的形式为：
此方程是可分离变量的微分方程，分离变量后，得： ，这就可以由我们前面所学的方法进行求解。
例题：求 的一般解。
解答：由此方程可得 ，故
因此该方程的一般解为：
非齐次线性微分方程的解法
非齐次线性微分方程的形式为：
这种方程的解法为：先求出其对应的齐次线性微分方程的一般解 ，然后把c看作x的函数，再代到非齐次线性微分方程中来决定c，使它能满足非齐次微分方程。
中把c作为x的函数求导数比c作为常数求导数要多处一项： ，所以中c作为x的函数代入微分方程就得到 .
所以只要 ，即 就可使非齐次线性微分方程得到满足，即 为所求的一般解。
上面我们说学的这种解法被称为Lagrange常数变易法。
例题：求解
解答：相应齐次线性微分方程的一般解为：
把c看成x的函数代入得：
因此：c'=x(x+1)
∴
故： 就是非齐次线性微分方程的一般解。 |
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可降阶的高阶方程 |
求解高阶微分方程的方法之一是设法降低方程的阶数。下面我们以二阶方程为例来学习三种可以降阶的方程。
1.右端仅含x的方程：y"=f(x)
对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为一阶方程
 ，
再次积分，即可求出方程得通解。
例题：求方程y"=cosx的通解。
解答：一次积分得：
二次积分即得到方程得通解：
2.右端不显含y的方程：y"=f(x,y')
我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是新的未知函数，x仍是自变量，于是 ，代入原方程得：
这就是一个一阶方程，然后即可由我们前面学的方法进行求解了。
例题：求方程 的通解。
解答：令y'=p.，代入方程，得
分离变量后，得
积分，得
 .即
再积分，即得原方程的通解：
 .
3.右端不显含x的方程：y"=f(y,y')
我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是自变量y的函数，有
代入原方程，得
这是关于p的一阶方程，我们可由此解出通解，然后再代入原方程求解，即可。
例题：求方程 的通解
解答：令 代入原方程得：
它相当于两个方程：
由第一个方程解得：y=C;
第二个方程可用分离变量法解得
p =C1y
从而
由此再分离变量，解得：
这就是原方程的通解(解y=C包含在这个解中) |
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线性微分方程解的结构 |
我们以二阶方程为例来说明线性方程解的结构，当然这些结论也适合于高阶线性微分方程。
二阶线性方程的一般形式为
其中y",y',y都是一次的，否则称为二阶非线性方程。
线性齐次方程解的结构
二阶线性齐次方程的形式为：
定理：如果函数 均是方程的解，那末 也是该方程的解，其中C1,C2为任意常数。
线性齐次方程的这一性质，又称为解的叠和性。
问题：我们所求得的解是不是方程的通解呢？
一般来说，这是不一定的，那么什么情况下它才是方程的通解呢？为此我们由引出了两个概念：线性相关与线性独立。
定义：设 是定义在区间I的两个函数，如果 ，那末称此两函数在区间I线性相关，否则，即之比不恒等于一个常数，那末称此两函数线性独立或线性无关。
为此我们有了关于线性齐次方程特解的定理。
定理：如果是二阶线线性齐次方程的任意两个线性独立的特解，那末就是该方程的通解，其中C1,C2为任意常数。
线性非齐次方程解的结构
二阶线性非齐次方程的形式为：
对于一阶线性非齐次方程我们知道，线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程通解之和。那末这个结论对高阶线性非齐次方程适合吗？
答案是肯定的。为此我们有下面的定理。
定理：设y是二阶线性非齐次方程的任一特解，Y是与该方程对应的齐次线性方程的通解，那末 y=y+Y 就是方程的通解。
我们为了以后的解题方便，又给出了一个定理，如下：
定理：设有线性非齐次方程 .如果分别是方程
 与方程
的解，那末 就是原方程的解。 |
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二阶常系数齐次线性方程的解法 |
前面我们已经知道了，无论是线性齐次方程和非齐次方程，它们的通解结构虽然知道，但通解的寻求却是建立在已知特解的基础上。但是，即使对二阶线性齐次方程，特解的寻求也没有一般的方法。但是对于常系数的二阶线性齐次方程，它的通解可按一定的方法很容易求的。
二阶线性齐次方程的解法
二阶线性齐次方程的一般形式为： ，其中a1，a2为实常数。
我们知道指数函数eax求导后仍为指数函数。利用这个性质，可适当的选择常数ρ，使eax满足方程上面的方程。我们可令： ，代入上面的方程得：
因为eax≠0，所以：
这样，对于上面二次方程的每个根ρ，eax就是方程的一个解。方程就被称为方程的特征方程。根据这个代数方程的根的不同性质，我们分三种不同的情况来讨论：
1.特征方程有两个不等的实根的情形
设此两实根为 。于是 是齐次方程的两个特解，由于它们之比不等于常数，所以它们线性独立，因此，方程的通解为：
其中c1，c2为实常数。
2.特征方程有重根的情形
此时特征方程的重根应为： ，于是只能得到的一个特解： ，我们可根据常数变易法再求其另一个特解为： .于是方程的通解为:
3.特征方程有共轭复根的情形
设共轭复根为 ，那末 是方程的两个线性独立的解，但是这种复数形式的解使用不方便，为了得到实数形式的解，利用欧拉公式： ，为此可以得到方程的通解：
由上面可知，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤为：
1.对照方程写出其特征方程：；
2.求出特征方程的两个根：ρ1，ρ2
3.根据ρ1，ρ2是不同实根，相同实根，共轭复根，分别利用上面的公式写出原方程的通解。
例题：求方程 的通解.
解答：此方程的特征方程为：
它有两个不相同的实根 ，因此所求的通解为：
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二阶常系数非齐次线性方程的解法 |
我们来学习二阶常系数线性非齐次方程 的求解方法.由前面我们知道线性非齐次方程的通解，等于它的任一特解与对应齐次方程的通解之和。前面我们已知道对应齐次方程的通解的解法，现在的关键是怎样求得特解。
二阶常系数非齐次线性方程的解法
常系数二阶线性非齐次方程的一般形式为：
下面我们根据f(x)具有下列特殊情形时，来给出求其特解的公式：
(1)：设 ，其中μ为一常数，
若 为零次多项式，此时：
a):当μ不是特征方程的根时，可设
b):当μ是特征方程的单根时，可设
c):当μ是特征方程的重根时，可设
若 为一m次多项式，即：μ=0，此时
a):当a2≠0即μ=0不是特征方程的根时，可设
b):当a2=0，a1≠0时，即μ=0是特征方程的单根时，可设
c):当a2=0，a1=0时，即μ=0是特征方程的重根时，可设
例题：求方程 的一个特解
解答：对应的特征方程为
原方程右端不出现 ，但可以把它看作是 ，即μ=0
因为μ=0不是特征方程的根，所以设特解为
代入原方程，得
于是：
故所求的特解为：
(2)：设 或 ，其中a,μ,v为常数。
此时的特解为： 
例题：求方程 的特解
解答：显然可设特解为：
代入原方程得：
由此得：
A=-1
从而原方程的特解是
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二重积分的概念及性质 |
前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。
二重积分的定义
设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：
(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n),其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n)；
(2)在每一个子域(△σk)上任取一点 ，作乘积 ；
(3)把所有这些乘积相加,即作出和数
(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→+∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:
即：=
其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.
关于二重积分的问题
对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。
上述就是二重积分的几何意义。
如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。
二重积分的性质
(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.
(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.
(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:
(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:
≤
(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使
其中σ是区域(σ)的面积. |
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二重积分的计算法 |
直角坐标系中的计算方法
这里我们采取的方法是累次积分法。也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。为此我们有积分公式，如下：
或 
在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？
累次积分上下限的确定方法
我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(σ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于y轴(或x轴)的直线,且此直线交(σ)的边界不超过两点，那末称(σ)为沿y轴(x轴)方向的正规区域.如果(σ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(σ)就称为正规区域.下图所示的即为正规区域:
关于累次积分上下限的取法如下所述:
(1).如果(σ)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是(σ)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2(x).对x的积分下限与上限分别是(σ)的最左与最右点的横坐标a与b.
(2).如果(σ)为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是(σ)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2(y).对y的积分下限与上限分别是(σ)的最低与最高点的横坐标c与d.
(3).如果(σ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。
(4).如果(σ)既不是沿y轴方向的正规区域,也不是沿x轴方向的正规区域,那末总可以把它化分成几块沿y轴方向的正规区域或沿x轴方向的正规区域,然后根据积分的性质即可求解积分.
例题：求二重积分 ，其中(σ)是由 所围成的区域。
解答：因为是正规区域，所以我们可先对y后对x积分，也可先对x后对y积分。这里我们采用前者
先对y后对x积分：
极坐标系中的计算法
如果二重积分的被积函数和积分区域(σ)的边界方程均由极坐标的形式给出,那末我们如何计算呢?下面我们给出极坐标系中二重积分的计算公式.
如果极点O在(σ)的外部,区域(σ)用不等式表示为R1(θ)≤ρ≤R2(θ),α≤θ≤β,则积分公式如下:
如果极点O在(σ)的内部,区域(σ)的边界方程为ρ=R(θ),0≤θ≤2π,则积分公式如下:
如果极点O在(σ)的边界上,边界方程为ρ=R(θ),θ1≤θ≤θ2,则积分公式如下:
有了上面这些公式，一些在直角坐标系中不易积出而在极坐标系中易积出的函数，我们就可以把它转化为在极坐标系中的积分即可，反之依然。
注：直角坐标与极坐标的转换公式为：
例题：求 ，其中(σ)是圆环a2≤x2+y2≤b2
解答：由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式，显然，这个二重积分化为极坐标计算比较方便。
把，dσ=ρdρdθ代入，即可转化为极坐标系的积分形式。如下：
在对其进行累次积分计算：
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三重积分及其计算法 |
二重积分的被积函数是一个二元函数，它的积分域是-平面区域.如果考虑三元函数f(x,y,z)在一空间区域(V)上的积分，就可得到三重积分的概念。
三重积分的概念
设函数u=f(x,y,z)在空间有界闭区域(V)任意划分成n个子域(△V1),(△V2),(△V3),…,(△Vn),它们的体积分别记作△Vk(k=1,2,…,n).在每一个子域上任取一点 ，并作和数
如果不论△Vk怎样划分，点怎样选取，当n→+∞而且最大的子域直径δ→0时，这个和数的极限都存在，那末此极限就称为函数 在域(V)上的三重积分,记作：
即：
如果f(x,y,z)在域(V)上连续，那末此三重积分一定存在。
对于三重积分没有直观的几何意义，但它却有着各种不同的物理意义。
直角坐标系中三重积分的计算方法
这里我们直接给出三重积分的计算公式，具体它是怎样得来的，请大家参照有关书籍。
直角坐标系中三重积分的计算公式为：
此公式是把一个三重积分转化为一个定积分与一个二重积分的问题，根据我们前面所学的结论即可求出。
例题：求 ，其中(V)是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围成的区域.
解答：把I化为先对z积分，再对y和x积分的累次积分，那末应把(V)投影到xOy平面上,求出投影域(σ),它就是
平面x+y+z=1与xOy平面的交线和x轴、y轴所围成的三角区域.
我们为了确定出对z积分限,在(σ)固定点(x,y),通过此点作一条平行于z的直线,它与(V)上下边界的交
点的竖坐标：z=0与z=1-x-y，这就是对z积分的下限与上限，于是由积分公式得：
其中(σ)为平面区域：x≥0，y≥0，x+y≤1，如下图红色阴影部分所示：
再把(σ)域上的二重积分化成先对y后对x的累次积分，得：
柱面坐标系中三重积分的计算法
我们先来学习一下空间中的点用极坐标的表示方法。
平面上点P可以用极坐标(ρ,θ)来确定,因此空间中的点P可用数组(ρ,θ,z)来表示.显然，空间的点P与数组(ρ,θ,z)之间的对应关系是一一对应关系,数组(ρ,θ,z)称为空间点P的柱面坐标.它与直角坐标的关系为：
构成柱面坐标系的三族坐标面分别为：
ρ=常数：以z轴为对称轴的同轴圆柱面族，
θ=常数：通过z轴的半平面族，
z =常数：与z轴垂直的平面族.
因此，每三个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点，由于利用了圆柱面，所以称为柱面坐标。
柱面坐标系下三重积分的计算公式为：
此处我们不在举例。 |
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多元函数的概念 |
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我们前面所学的函数的自变量的个数都是一个，但是在实际问题中，所涉及的函数的自变量的个数往往是两个，或者更多。
例：一个圆柱体的体积 与两个独立变量r,h有关。`
我们先以二个独立的变量为基础，来给出二元函数的定义。
二元函数的定义
设有两个独立的变量x与y在其给定的变域中D中，任取一组数值时，第三个变量z就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量z称为变量x与y的二元函数。
记作：z=f(x,y). 其中x与y称为自变量，函数z也叫做因变量，自变量x与y的变域D称为函数的定义域。
关于二元函数的定义域的问题
我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.二元函数的定义域通常是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面.这样的部分在平面称为区域.围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域。
如果一个区域D(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数M，则称D为有界区域；否则称D为无界区域。常见的区域有矩形域和圆形域。如下图所示：
例题：求 的定义域.
解答：该函数的定义域为：x≥ ,y≥0.
二元函数的几何表示
把自变量x、y及因变量z当作空间点的直角坐标，先在xOy平面内作出函数z=f(x,y)的定义域D；再过D域中得任一点M(x,y)作垂直于xOy平面的有向线段MP,使其值为与(x,y)对应的函数值z；
当M点在D中变动时，对应的P点的轨迹就是函数z=f(x,y)的几何图形.它通常是一张曲面，
其定义域D就是此曲面在xOy平面上的投影。 |
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二元函数的极限及其连续性 |
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在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数z=f(x,y)我们同样可以学习当自变量x与y趋向于有限值ξ与η时，函数z的变化状态。
在平面xOy上，(x,y)趋向(ξ,η)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果当点(x,y)以任意方式趋向点(ξ,η)时，f(x,y)总是趋向于一个确定的常数A，
那末就称A是二元函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的极限。
这种极限通常称为二重极限。
下面我们用ε-δ语言给出二重极限的严格定义：
二重极限的定义
如果定义于(ξ,η)的某一去心邻域的一个二元函数f(x,y)跟一个确定的常数A有如下关系：对于任意给定的正数ε，无论怎样小，相应的必有另一个正数δ，凡是满足
的一切(x,y)都使不等式
 成立，
那末常数A称为函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的二重极限。
正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则：
二重极限的运算法则
如果当(x,y)→(ξ,η)时，f(x,y)→A，g(x,y)→B.
那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B；
(2)：f(x,y).g(x,y)→A.B；
(3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中B≠0
像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义：
二元函数的连续性
如果当点(x,y)趋向点(x0,y0)时，函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)，那末称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果f(x,y)在区域D的每一点都连续，那末称它在区域D连续。
如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)不满足连续的定义，那末我们就称(x0,y0)是f(x,y)的一个间断点。
关于二元函数间断的问题
二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。
二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零)和复合函数仍是连续函数。
例题：求下面函数的间断线
解答：x=0与y=0都是函数的间断线。 |
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偏导数 |
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在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的"变化率"。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多.在xOy平面内，当变点由(x0,y0)沿不同方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般说来时不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。
在这里我们只学习(x,y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时f(x,y)的变化率。
偏导数的定义
设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数
z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)
△xz=f(x0+△x)-f(x0,y0).
如果△xz与△x之比当△x→0时的极限
 存在，
那末此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。
记作：f'x(x0,y0)或
关于对x的偏导数的问题
函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数
同样，把x固定在x0,让y有增量△y,如果极限
 存在，
那末此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数.
记作f'y(x0,y0)或
偏导数的求法
当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时，
我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导，
那末称函数f(x,y)在域D可导。
此时，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，
称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。
例题：求z=x2siny的偏导数
解答：把y看作常量对x求导数，得
把x看作常量对y求导数，得
注意：二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。
例题：求 的偏导数。
解答：我们根据二元函数的偏导数的求法来做。
把y和z看成常量对x求导，得 .
把x和z看成常量对y求导，得 .
把x和y看成常量对z求导，得 .
高阶偏导数
如果二元函数z=f(x,y)的偏导数f'x(x,y)与f'y(x,y)仍然可导，
那末这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。
二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy.
注意：f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对x求偏导.当f"xy与f"yx都连续时，求导的结果于求导的先后次序无关。
例题：求函数 的二阶偏导数.
解答： ， ， |
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全微分 |
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我们已经学习了一元函数的微分的概念了，现在我们用类似的思想方法来学习多元函数的的全增量，从而把微分的概念推广到多元函数。
这里我们以二元函数为例。
全微分的定义
函数z=f(x,y)的两个偏导数f'x(x,y),f'y(x,y)分别与自变量的增量△x,△y乘积之和
f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y
若该表达式与函数的全增量△z之差，
当ρ→0时，是ρ( )
的高阶无穷小，
那末该表达式称为函数z=f(x,y)在(x,y)处(关于△x,△y)的全微分。
记作：dz=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y
注意：其中△z=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y+αρ，(α是当ρ→0时的无穷小)
注意：在找函数相应的全增量时，为了使△z与偏导数发生关系，我们把由(x0,y0)变到(x0+△x,y0+△y)的过程分为两部：先由点(x0,y0)变到点(x0,y0+△y)，再变到点(x0+△x,y0+△y).其过程如下图所示：
例题：求 的全微分
解答：由于 ，
所以
关于全微分的问题
如果偏导数f'x(x,y),f'y(x,y)连续，那末z=f(x,y)一定可微。 |
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多元复合函数的求导法 |
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在一元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。我们先以二元函数为例：
多元复合函数的求导公式
链导公式：
设 均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的一阶偏导数,
那末,复合函数 在(x,y)处可导,且有链导公式：
例题：求函数 的一阶偏导数
解答：令
由于
而
由链导公式可得：
其中
上述公式可以推广到多元，在此不详述。
一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。
全导数
由二元函数z=f(u,v)和两个一元函数 复合起来的函数 是x的一元函数.
这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数 ,称为全导数.
此时的链导公式为:
例题：设z=u2v，u=cosx，v=sinx，求
解答：由全导数的链导公式得：
将u=cosx，v=sinx代入上式，得：
关于全导数的问题
全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。 |
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多元函数的极值 |
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在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。
二元函数极值的定义
如果在(x0,y0)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式：
f(x,y)≤f(x0,y0)
成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值f(x0,y0)；如果恒有等式：
f(x,y)≥f(x0,y0)
成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值f(x0,y0).
极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点.
二元可导函数在(x0,y0)取得极值的条件是： .
注意：此条件只是取得极值的必要条件。
凡是使的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不一定是极值点。
二元函数极值判定的方法
设z=f(x,y)在(x0,y0)的某一邻域内有连续的二阶偏导数.如果，那末函数f(x,y)在(x0,y0)取得极值的条件如下表所示：
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其中
例题：求 的极值。
解答：设 ,则
 ， .
 .
解方程组 ，得驻点(1,1),(0,0).
对于驻点(1,1)有 ,故
B2-AC=(-3)2-6.6=-27＜0，A=6＞0
因此，在点(1,1)取得极小值f(1,1)=-1.
对于驻点(0,0)有 ,故
B2-AC=(-3)2-0.0=9＞0
因此，在点(0,0)不取得极值.
多元函数的最大、最小值问题
我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。如下：
a)：根据实际问题建立函数关系，确定其定义域；
b)：求出驻点；
c)：结合实际意义判定最大、最小值.
例题：在平面3x+4y-z=26上求一点，使它与坐标原点的距离最短。
解答：a)：先建立函数关系,确定定义域
求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方
最小的问题.但是P点位于所给的平面上,故z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我们所需的函数关系:
 ,-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞
b)：求驻点
解 得唯一驻点x=3，y=4.由于点P在所给平面上,故可知
z=-1
c)：结合实际意义判定最大、最小值
由问题的实际意义可知，原点与平面距离的最小值是客观存在的，且这个最小值就是极小值.而函数
仅有唯一的驻点.所以，平面上与原点距离最短的点为P(3,4,-1).
从上例我们可以看出，上面函数关系也可看成是：求三元函数
，
在约束条件
3x+4y-z=26
下的最小值.一个多元函数在一个或几个约束条件下的极值称为条件极值。 |
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空间直角坐标系 |
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空间点的直角坐标系
为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。
过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。(如下图所示)
三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称坐标面。
取定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系。
例：设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的一点M就唯一的确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标，并依次称x,y和z为点M的横坐标，纵坐标和竖坐标。(如下图所示)
坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).
这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。
注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征.
例：如果点M在yOz平面上，则x=0；同样，zOx面上的点，y=0；如果点M在x轴上，则y=z=0；如果M是原点，
则x=y=z=0，等。
空间两点间的距离
设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式：
例题：证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形.
解答：由两点间距离公式得：
由于 ，所以△ABC是一等腰三角形 |
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方向余弦与方向数 |
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解析几何中除了两点间的距离外，还有一个最基本的问题就是如何确定有向线段的或有向直线的方向。
方向角与方向余弦
设有空间两点 ，若以P1为始点，另一点P2为终点的线段称为有向线段.记作 .通过原点作一与其平行且同向的有向线段 .将与Ox,Oy,Oz三个坐标轴正向夹角分别记作α,β,γ.这三个角α,β,γ称为有向线段的方向角.其中0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π.
关于方向角的问题
若有向线段的方向确定了，则其方向角也是唯一确定的。
方向角的余弦 称为有向线段或相应的有向线段的方向余弦。
设有空间两点，则其方向余弦可表示为：
从上面的公式我们可以得到方向余弦之间的一个基本关系式：
注意：从原点出发的任一单位的有向线段的方向余弦就是其端点坐标。
方向数
方向余弦可以用来确定空间有向直线的方向，但是，如果只需要确定一条空间直线的方位(一条直线的两个方向均确定着同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知道与方向余弦成比例的三个数就可以了。这三个与方向余弦成比例且不全为零的数A，B，C称为空间直线的方向数，记作：{A，B，C}.即：
据此我们可得到方向余弦与方向数的转换公式：
 ， ，
其中：根式取正负号分别得到两组方向余弦，它们代表两个相反的方向。
关于方向数的问题
空间任意两点坐标之差就是联结此两点直线的一组方向数。
两直线的夹角
设L1与L2是空间的任意两条直线，它们可能相交，也可能不相交.通过原点O作平行与两条直线的线段 .则线段的夹角称为此两直线L1与L2的夹角.
若知道L1与L2的方向余弦则有公式为：
其中：θ为两直线的夹角。
若知道L1与L2的方向数则有公式为：
两直线平行、垂直的条件
两直线平行的充分必要条件为：
两直线垂直的充分必要条件为：
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平面与空间直线 |
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平面及其方程
我们把与一平面垂直的任一直线称为此平面的法线。
设给定点为Po(x0,y0,z0),给定法线n的一组方向数为{A,B,C}A2+B2+C2≠0，则过此定点且以n为法线的平面方程可表示为：
注意：此种形式的方程称为平面方程的点法式。
例题：设直线L的方向数为{3，-4，8}，求通过点(2,1,-4)且垂直于直线L的平面方程.
解答：应用上面的公式得所求的平面方程为：
即
我们把形式为：
Ax+By+Cz+D=0.
称为平面方程的一般式。其中x,y,z的系数A，B，C是平面的法线的一组方向数。
几种特殊位置平面的方程
1、通过原点
其平面方程的一般形式为：
Ax+By+Cz=0.
2、平行于坐标轴
平行于x轴的平面方程的一般形式为：
By+Cz+D=0.
平行于y轴的平面方程的一般形式为：
Ax+Cz+D=0.
平行于z轴的平面方程的一般形式为：
Ax+By+D=0.
3、通过坐标轴
通过x轴的平面方程的一般形式为：
By+Cz=0.
通过y轴和z轴的平面方程的一般形式为：
Ax+Cz=0，Ax+By=0.
4、垂直于坐标轴
垂直于x、y、z轴的平面方程的一般形式为：
Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0.
直线及其方程
任一给定的直线都有着确定的方位.但是,具有某一确定方位的直线可以有无穷多条,它们相互平行.如果要求直线再通过某一定点,则直线便被唯一确定，因而此直线的方程就可由通过它的方向数和定点的坐标表示出来。
设已知直线L的方向数为{l,m,n}，又知L上一点Po(x0,y0,z0),则直线L的方程可表示为：
上式就是直线L的方程，这种方程的形式被称为直线方程的对称式。
直线方程也有一般式，它是有两个平面方程联立得到的，如下：
这就是直线方程的一般式。
平面、直线间的平行垂直关系
对于一个给定的平面，它的法线也就可以知道了。因此平面间的平行与垂直关系，也就转化为直线间的平行与垂直关系。平面与直线间的平行与垂直关系，也就是平面的法线与直线的平行与垂直关系。
总的来说，平面、直线间的垂直与平行关系，最终都转化为直线与直线的平行与垂直关系。在此我们就不列举例题了。 |
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曲面与空间曲线 |
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曲面的方程
我们知道，在平面解析几何中可把曲线看成是动点的轨迹.因此，在空间中曲面可看成是一个动点或一条动曲线(直线)按一定的条件或规律运动而产生的轨迹。
设曲面上动点P的坐标为(x,y,z)，由这一条件或规律就能导出一个含有变量x,y,z的方程：
如果此方程当且仅当P为曲面上的点时，才为P点的坐标所满足。那末我们就用这个方程表示曲面，并称这个方程为曲面的方程，把这个曲面称为方程的图形。
空间曲线的方程
我们知道，空间直线可看成两平面的交线，因而它的方程可用此两相交平面的方程的联立方程组来表示，这就是直线方程的一般式。
一般地，空间曲线也可以象空间直线那样看成是两个曲面的交线，因而空间曲线的方程就可由此两相交曲面方程的联立方程组来表示。
设有两个相交曲面，它们的方程是 ， ，那末联立方程组：
便是它们的交线方程。
两类常见的曲面
1、柱面
设有动直线L沿一给定的曲线C移动，移动时始终与给定的直线M平行，这样由动直线L所形成的曲面称为柱面，动直线L称为柱面的母线，定曲线C称为柱面的准线。
2、旋转面
设有一条平面曲线C，绕着同一平面内的一条直线L旋转一周，这样由C旋转所形成的曲面称为旋转面，曲线C称为旋转面的母线，直线L称为旋转面的轴。
下面我们再列举出几种常见的二次曲面
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定积分的概念 |
我们先来看一个实际问题---求曲边梯形的面积。
设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。如下图所示：
现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？
我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。
显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。为此我们产生了定积分的概念。
定积分的概念
设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点
a=x0<x1<...<xn-1<xn=b
把区间[a,b]分成n个小区间
[x0，x1]，...[xn-1,xn],
在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi，
并作出和 ，
如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，
这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，
记作 。
即：
关于定积分的问题
我们有了定积分的概念了，那么函数f(x)满足什么条件时才可积？
定理(1)：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。
(2)：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
定积分的性质
性质(1)：函数的和(差)得定积分等于它们的定积分的和(差).
即：
性质(2)：被积函数的常数因子可以提到积分号外面.
即：
性质(3)：如果在区间[a,b]上，f(x)≤g(x)，则≤
(a<b)
性质(4)：设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则 m(b-a)≤≤M(b-a)
性质(5)：如果f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点ξ，使下式成立：
=f(ξ)(b-a)
注：此性质就是定积分中值定理。 |
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微积分积分公式 |
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积分上限的函数及其导数 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点.现在我们来考察f(x)在部分区间[a,x]上的定积分  ,我们知道f(x)在[a,x]上仍旧连续，因此此定积分存在。
如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，记作φ(x): 
注意：为了明确起见，我们改换了积分变量(定积分与积分变量的记法无关)
定理(1)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数在[a,b]上具有导数，
并且它的导数是
(a≤x≤b)
(2)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
注意：定理(2)即肯定了连续函数的原函数是存在的，又初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。牛顿--莱布尼兹公式 定理(3)：如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 
注意：此公式被称为牛顿-莱布尼兹公式，它进一步揭示了定积分与原函数(不定积分)之间的联系。
它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数再去见[a,b]上的增量。因此它就
给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。
例题：求
解答：我们由牛顿-莱布尼兹公式得：
注意：通常也把牛顿--莱布尼兹公式称作微积分基本公式。 |
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定积分的换元法与分部积分法 |
定积分的换元法
我们知道求定积分可以转化为求原函数的增量，在前面我们又知道用换元法可以求出一些函数的原函数。因此，在一定条件下，可以用换元法来计算定积分。
定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续；函数g(t)在区间[m,n]上是单值的且有连续导数；当t在区间[m,n]上变化时，x=g(t)的值在[a,b]上变化，且g(m)=a,g(n)=b；则有定积分的换元公式:
例题:计算
解答:设x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时，t=0；当x=a时，t=π/2.于是：
注意：在使用定积分的换元法时，当积分变量变换时，积分的上下限也要作相应的变换。
定积分的分部积分法
计算不定积分有分部积分法，相应地，计算定积分也有分部积分法。
设u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续导数u'(x)、v'(x)，则有(uv)'=u'v+uv',分别求此等式两端在[a,b]上的定积分，并移向得：
上式即为定积分的分部积分公式。
例题：计算
解答：设 ，且当x=0时，t=0；当x=1时，t=1.由前面的换元公式得：
再用分部积分公式计算上式的右端的积分。设u=t,dv=etdt,则du=dt,v=et.于是：
故： |
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广义积分 |
在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数在积分区间上具有无穷间断点的积分，它们已不属于前面我们所学习的定积分了。为此我们对定积分加以推广，也就是---广义积分。
一：积分区间为无穷区间的广义积分
设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取b>a.如果极限
 存在，
则此极限叫做函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的广义积分，
记作： ，
即：=.
此时也就是说广义积分收敛。如果上述即先不存在，则说广义积分发散，此时虽然用同样的记号，但它已不表示数值了。
类似地，设函数f(x)在区间(-∞，b]上连续，取a<b.如果极限
 存在，
则此极限叫做函数f(x)在无穷区间(-∞，b]上的广义积分，
记作： ，
即：=.
此时也就是说广义积分收敛。如果上述极限不存在，就说广义积分发散。
如果广义积分和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-∞,+∞)上的广义积分，
记作： ，
即：=
上述广义积分统称积分区间为无穷的广义积分。
例题：计算广义积分
解答： |
二：积分区间有无穷间断点的广义积分
设函数f(x)在(a,b]上连续，而 .取ε>0，如果极限
 存在，则极限叫做函数f(x)在(a,b]上的广义积分，
仍然记作： .
即：=，
这时也说广义积分收敛.如果上述极限不存在，就说广义积分发散。
类似地，设f(x)在[a,b)上连续，而 .取ε>0，如果极限
 存在，
则定义=；
否则就说广义积分发散。
又，设f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外连续，而 .如果两个广义积分 和 都收敛，
则定义：=+.
否则就说广义积分发散。
例题：计算广义积分 (a>0)
解答：因为 ，所以x=a为被积函数的无穷间断点，于是我们有上面所学得公式可得：
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不定积分的概念 |
原函数的概念
已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有
dF'(x)=f(x)dx，
则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
例：sinx是cosx的原函数。
关于原函数的问题
函数f(x)满足什么条件是，才保证其原函数一定存在呢？这个问题我们以后来解决。若其存在原函数，那末原函数一共有多少个呢？
我们可以明显的看出来：若函数F(x)为函数f(x)的原函数，
即：F"(x)=f(x)，
则函数族F(x)+C(C为任一个常数)中的任一个函数一定是f(x)的原函数，
故：若函数f(x)有原函数，那末其原函数为无穷多个.
不定积分的概念
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分，
记作 。
由上面的定义我们可以知道：如果函数F(x)为函数f(x)的一个原函数，那末f(x)的不定积分就是函数族
F(x)+C.
即:=F(x)+C
例题：求： .
解答：由于 ，故=
不定积分的性质
1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；
即：
2、求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，
即： |
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求不定积分的方法 |
换元法
换元法(一)：设f(u)具有原函数F(u)，u=g(x)可导，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函数.
即有换元公式:
例题：求
解答：这个积分在基本积分表中是查不到的，故我们要利用换元法。
设u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此：
换元法(二)：设x=g(t)是单调的，可导的函数，并且g'(t)≠0，又设f[g(t)]g'(t)具有原函数φ(t)，
则φ[g(x)]是f(x)的原函数.(其中g(x)是x=g(t)的反函数)
即有换元公式:
例题：求
解答：这个积分的困难在于有根式，但是我们可以利用三角公式来换元.
设x=asint(-π/2<t<π/2)，那末 ，dx=acostdt,于是有：
关于换元法的问题
不定积分的换元法是在复合函数求导法则的基础上得来的，我们应根据具体实例来选择所用的方法，求不定积分不象求导那样有规则可依，因此要想熟练的求出某函数的不定积分，只有作大量的练习。
分部积分法
这种方法是利用两个函数乘积的求导法则得来的。
设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.我们知道，两个函数乘积的求导公式为：
(uv)'=u'v+uv'，移项，得
uv'=(uv)'-u'v，对其两边求不定积分得：
 ，
这就是分部积分公式
例题：求
解答：这个积分用换元法不易得出结果，我们来利用分部积分法。
设u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部积分公式得：
关于分部积分法的问题
在使用分部积分法时，应恰当的选取u和dv，否则就会南辕北辙。选取u和dv一般要考虑两点：
(1)v要容易求得；
(2) 容易积出。 |
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几种特殊类型函数的积分举例 |
有理函数的积分举例
有理函数是指两个多项式的商所表示的函数，当分子的最高项的次数大于分母最高项的次数时称之为假分式，
反之为真分式。
在求有理函数的不定积分时，若有理函数为假分式应先利用多项式的除法，把一个假分式化成一个多项式和一个真分式之和的形式，然后再求之。
例题：求
解答：
关于有理函数积分的问题
有理函数积分的具体方法请大家参照有关书籍，请谅。
三角函数的有理式的积分举例
三角函数的有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数。
例题：求
解答：
关于三角函数的有理式的积分的问题
任何三角函数都可用正弦与余弦函数表出，故变量代换u=tan(x/2)对三角函数的有理式的积分应用，在此我
们不再举例。
简单无理函数的积分举例
例题：求
解答：设 ，于是x=u2+1，dx=2udu，从而所求积分为：
 |
|
微分学中值定理 |
|
在给出微分学中值定理的数学定义之前，我们先从几何的角度看一个问题，如下： |
设有连续函数 ，a与b是它定义区间内的两点(a＜b)，假定此函数在(a,b)处处可导，也就是在(a,b)内的函数图形上处处都由切线，那末我们从图形上容易直到，
差商 就是割线AB的斜率，若我们把割线AB作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点P(x=c)处成为曲线的切线，而曲线的斜率为 ，由于切线与割线是平行的，因此
 成立。
注：这个结果就称为微分学中值定理，也称为拉格朗日中值定理 |
拉格朗日中值定理
如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使
 成立。 |
这个定理的特殊情形，即： 的情形，称为罗尔定理。描述如下：
若 在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且 ，那末在(a,b)内至少有一点c，使 成立。
注：这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。
注：在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，请参考相关书籍 |
下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理--柯西中值定理
柯西中值定理
如果函数 ， 在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且≠0，那末在(a，b)内至少有一点c，使 成立。 |
例题：证明方程 在0与1之间至少有一个实根
证明：不难发现方程左端 是函数 的导数：
函数在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且 ，由罗尔定理
可知，在0与1之间至少有一点c，使 ，即
也就是：方程在0与1之间至少有一个实根 |
|
未定式问题 |
问题：什么样的式子称作未定式呢？
答案：对于函数,来说，当x→a(或x→∞)时，函数,都趋于零或无穷大
则极限 可能存在，也可能不存在，我们就把式子 称为未定式。分别记为 型 |
|
我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用"商的极限等于极限的商"这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？
下面我们来学习罗彼塔(L'Hospital)法则，它就是这个问题的答案
注：它是根据柯西中值定理推出来的。 |
罗彼塔(L'Hospital)法则
当x→a(或x→∞)时，函数,都趋于零或无穷大，在点a的某个去心邻域内(或当│x│＞N)时， 与 都存在，≠0，且 存在
则：=
这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的罗彼塔(L'Hospital)法则
注：它是以前求极限的法则的补充，以前利用法则不好求的极限，可利用此法则求解。 |
例题：求
解答：容易看出此题利用以前所学的法则是不易求解的，因为它是未定式中的 型求解问题，因此我们就可以利用上面所学的法则了。
 |
例题：求
解答：此题为未定式中的 型求解问题，利用罗彼塔法则来求解
 |
另外，若遇到 、 、
 、
 、
 等型，通常是转化为型后，在利用法则求解。 |
例题：求
解答：此题利用以前所学的法则是不好求解的，它为型，故可先将其转化为型后在求解，
 |
|
注：罗彼塔法则只是说明：对未定式来说，当存在，则存在且二者的极限相同；而并不是不存在时，也不存在，此时只是说明了罗彼塔法则存在的条件破列。 |
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函数单调性的判定法 |
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函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？
我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性. |
|
判定方法：
设函数在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.
a)：如果在(a,b)内＞0，那末函数在[a,b]上单调增加；
b)：如果在(a,b)内＜0，那末函数在[a,b]上单调减少. |
例题：确定函数 的增减区间.
解答：容易确定此函数的定义域为(－∞,+∞)
其导数为： ，因此可以判出：
当x＞0时，＞0，故它的单调增区间为(0,+∞)；
当x＜0时，＜0，故它的单调减区间为(-∞,0)；
注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的。 |
|
函数的极值及其求法
|
在学习函数的极值之前，我们先来看一例子：
设有函数 ，容易知道点x=1及x=2是此函数单调区间的分界点，又可知在点x=1左侧附近，函数值是单调增加的，在点x=1右侧附近，函数值是单调减小的.因此存在着点x=1的一个邻域,对于这个邻域内,任何点x(x=1除外)，＜ 均成立，点x=2也有类似的情况(在此不多说),为什么这些点有这些性质呢？
事实上，这就是我们将要学习的内容--函数的极值， |
函数极值的定义
设函数在区间(a,b)内有定义，x0是(a,b)内一点.
若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)，＜ 均成立，
则说是函数的一个极大值；
若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)，＞均成立，
则说是函数的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。
我们知道了函数极值的定义了，怎样求函数的极值呢？
学习这个问题之前，我们再来学习一个概念--驻点
凡是使 的x点，称为函数的驻点。
判断极值点存在的方法有两种：如下 |
方法一：
设函数在x0点的邻域可导，且 .
情况一：若当x取x0左侧邻近值时，＞0，当x取x0右侧邻近值时，＜0，
则函数在x0点取极大值。
情况一：若当x取x0左侧邻近值时，＜0，当x取x0右侧邻近值时，＞0，
则函数在x0点取极小值。
注：此判定方法也适用于导数在x0点不存在的情况。
用方法一求极值的一般步骤是：
a)：求；
b)：求的全部的解--驻点；
c)：判断在驻点两侧的变化规律，即可判断出函数的极值。 |
例题：求 极值点
解答：先求导数
再求出驻点：当时，x=-2、1、-4/5
判定函数的极值，如下图所示
 |
方法二：
设函数在x0点具有二阶导数，且时 .
则：a)：当 ＜0，函数在x0点取极大值；
b)：当＞0，函数在x0点取极小值；
c)：当=0，其情形不一定，可由方法一来判定. |
例题：我们仍以例1为例，以比较这两种方法的区别。
解答：上面我们已求出了此函数的驻点，下面我们再来求它的二阶导数。
 ，故此时的情形不确定，我们可由方法一来判定；
 ＜0，故此点为极大值点；
 ＞0，故此点为极小值点。 |
|
函数的最大值、最小值及其应用 |
在工农业生产、工程技术及科学实验中，常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使"产品最多"、"用料最省"、"成本最低"等。
这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值、最小值的问题。
怎样求函数的最大值、最小值呢？前面我们已经知道了，函数的极值是局部的。要求在[a,b]上的最大值、最小值时，可求出开区间(a,b)内全部的极值点，加上端点 的值，从中取得最大值、最小值即为所求。 |
例题：求函数 ，在区间[-3，3/2]的最大值、最小值。
解答：在此区间处处可导，
先来求函数的极值 ，故x=±1，
再来比较端点与极值点的函数值，取出最大值与最小值即为所求。
因为 ， ， ，
故函数的最大值为，函数的最小值为。 |
例题：圆柱形罐头，高度H与半径R应怎样配，使同样容积下材料最省？
解答：由题意可知： 为一常数，
面积
故在V不变的条件下，改变R使S取最小值。
故： 时，用料最省。 |
|
曲线的凹向与拐点 |
|
通过前面的学习，我们知道由一阶导数的正负，可以判定出函数的单调区间与极值，但是还不能进一步研究曲线的性态，为此我们还要了解曲线的凹性。
定义：
对区间I的曲线作切线，如果曲线弧在所有切线的下面，则称曲线在区间I下凹，如果曲线在切线的上面，称曲线在区间I上凹。 |
曲线凹向的判定定理
定理一：设函数在区间(a,b)上可导，它对应曲线是向上凹(或向下凹)的充分必要条件是：
导数在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。
定理二：设函数在区间(a,b)上可导，并且具有一阶导数和二阶导数；那末：
若在(a,b)内， ＞0，则在[a,b]对应的曲线是下凹的；
若在(a,b)内，＜0，则在[a,b]对应的曲线是上凹的； |
例题：判断函数 的凹向
解答：我们根据定理二来判定。
因为 ，所以在函数的定义域(0,+∞)内， ＜0，
故函数所对应的曲线时下凹的。 |
|
拐点的定义
连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点。 |
|
拐定的判定方法
如果在区间(a,b)内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定的拐点。
(1)：求；
(2)：令=0，解出此方程在区间(a,b)内实根；
(3)：对于(2)中解出的每一个实根x0，检查在x0左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点。 |
例题：求曲线 的拐点。
解答：由 ，
令=0，得x=0，2/3
判断在0，2/3左、右两侧邻近的符号，可知此两点皆是曲线的拐点。 |
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