2．向量的应用

(1)向量在几何中的应用；

(2)向量在物理中的应用。

1．向量的数量积

(1)两个非零向量的夹角

已知非零向量a与a，作＝，＝，则∠AOA＝θ(0≤θ≤π)叫与的夹角；

说明：(1)当θ＝0时，与同向；

(2)当θ＝π时，与反向；

(3)当θ＝时，与垂直，记⊥；

(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0°≤q≤180°。

C

(2)数量积的概念

已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积(或内积)。规定；

向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；

(3)数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积。

(4)向量数量积的性质

①向量的模与平方的关系：。

②乘法公式成立

；

；

③平面向量数量积的运算律

交换律成立：；

对实数的结合律成立：；

分配律成立：。

④向量的夹角：cos==。

当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=0⁰，当且仅当与反方向时θ=180⁰，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。

(5)两个向量的数量积的坐标运算

已知两个向量，则·=。

(6)垂直：如果与的夹角为90⁰则称与垂直，记作⊥。

两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O，平面向量数量积的性质。

(7)平面内两点间的距离公式

设，则或。

如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)。

本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。

平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。

预测07年高考：

(1)一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。

(2)一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；

2．向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

1．平面向量的数量积

①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的。新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。因此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。

学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

(1)向量的加法与减法是互逆运算；

(2)相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；

(3)向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)，而向量平行则包括共线(重合)的情况；

(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系；

题型1：平面向量的概念

例1．(1)给出下列命题：

①若||＝||，则=；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若=，=，则=；

④=的充要条件是||=||且//；

⑤ 若//，//，则//；

其中正确的序号是 　　　　　。

(2)设为单位向量，(1)若为平面内的某个向量，则=||·;(2)若与a₀平行，则=||·；(3)若与平行且||=1，则=。上述命题中，假命题个数是(　　 )

A．0　　　　　　　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　　　　　 D．3

解析：(1)①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；

②正确；∵ ，∴ 且，

又 A，B，C，D是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，

因此，。

③正确；∵ =，∴ ，的长度相等且方向相同；

又＝，∴ ，的长度相等且方向相同，

∴ ，的长度相等且方向相同，故＝。

　　 ④不正确；当//且方向相反时，即使||=||，也不能得到=，故||=||且//不是=的充要条件，而是必要不充分条件；

　　 ⑤不正确；考虑=这种特殊情况；

　　 综上所述，正确命题的序号是②③。

点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。

(2)向量是既有大小又有方向的量，与||模相同，但方向不一定相同，故(1)是假命题；若与平行，则与方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时=－||，故(2)、(3)也是假命题。综上所述，答案选D。

点评：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。

题型2：平面向量的运算法则

例2．(1)如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，，， 表示出来。

(2)(06上海理，13)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(　　　 )

A．＝　 B．+＝　 C．－＝　 D．+＝

(3)(06广东，4)如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量(　　 )

A．　　　　　 B．

C．　　　　　　 D．

(1)解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。

因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，

所以，=+，= =+，

由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=+=+=++=2+，

同样在平行四边形 BCDO中，＝＝＝+(+)＝+2，＝＝－。

点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示。

(2)C．

(3)，故选A。

例3．设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：

①，②，③。

解析：①原式= ；

②原式= ；

③原式= 。

例4．设为未知向量，、为已知向量，解方程2-(5+3-4)+ -3=0

解析：原方程可化为：(2 - 3) + (-5+) + (4-3) = 0，

∴ =+ 。

点评：平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质。

题型3：平面向量的坐标及运算

例5．已知中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC边上的高为AD，求。

解析：设D(x,y)，则

∵

得

所以。

例6．已知点,试用向量方法求直线和(为坐标原点)交点的坐标。

解析：设，则

因为是与的交点，所以在直线上，也在直线上。

即得，由点得，。

得方程组，解之得。

故直线与的交点的坐标为。

题型4：平面向量的性质

例7．平面内给定三个向量，回答下列问题：

(1)求满足的实数m,n；

(2)若，求实数k；

(3)若满足，且，求。

解析：(1)由题意得，所以，得。

(2)，

；

(3)

由题意得，得或。

例8．已知

(1)求；

(2)当为何实数时，与平行， 平行时它们是同向还是反向？

解析：(1)因为

所以

则

(2)，

因为与平行，所以即得。

此时，，则，即此时向量与方向相反。

点评：上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。

题型5：共线向量定理及平面向量基本定理

例9．(2002天津文12，理10)平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为(　　 )

A．3x+2y－11=0　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．(x－1)²+(y－2)²=5

C．2x－y=0　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．x+2y－5=0

解法一：设，则。

由得，

于是，先消去，由得。

再消去得，所以选取D。

解法二：由平面向量共线定理，

当，时，A、B、C共线。

因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得即选D。

点评：熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算；两个向量平行的坐标表示；运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。

例10．(1)(06福建理，11)已知︱︱=1，︱︱=,=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n(m、n∈R)，则等于(　 )

A．　　　　　　　 B．3　　　　　　 C．　　　　 D．

(2)(06湖南文，10)如图：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且，则实数对(x,y)可以是(　 )

A．　　　B.

C. 　　　　　D.

解析：(1)B；(2)C。

题型6：平面向量综合问题

例11．已知向量与的对应关系用表示。

(1)证明：对于任意向量及常数m，n恒有成立；

(2)设，求向量及的坐标；

(3)求使，(p，q为常数)的向量的坐标

解析：(1)设，则，

故

，

∴

(2)由已知得=(1，1)，=(0，－1)

(3)设=(x，y)，则，

∴y=p，x=2p－q，即=(2P－q，p)。

例12．求证：起点相同的三个非零向量，，3－2的终点在同一条直线上。

证明：设起点为O，＝，=，＝3－2，

则=2(－)，=－，，

∵ 共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，

即向量，，3－2的终点在同一直线上．

点评：(1)利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：① 证明向量平行；② 说明两个向量有公共点；

⑵用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：①证明向量平行；②说明两向量无公共点。

5．平面向量的坐标表示

(1)平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。

规定：

(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；

(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。

(2)平面向量的坐标运算：

①若，则；

②若，则；

③若=(x,y)，则=(x, y)；

④若，则。

4．平面向量的基本定理

如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

3．两个向量共线定理：

向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。