命题：如此定义的函数f(x)满足函数方程f[f(x)]=x+2.

3）若2k+1<x<2k+2，定义f(x)=2k+2+；

2）若2k<x<2k+1，定义f(x)=2k+1+；

1）定义f(k)=k+1，kZ；

在具体进行构造之前，有必要了解f(x)的一些基本性质，以便构造时有正确的方向。由（1）知，f(x)定义域和值域都是一切实数；如果有x₁,x₂使f(x₁)=f(x₂) ，则f(f(x₁))=f(f(x₂))；函数的复合满足结合律，即(f。f)。f(x)= f。(f。f)(x)，由此得到f(x+2)=f(x)+2^……（2）因此，我们只要对满足0<2的实数x定义f(x)，然后按照（2）将f(x)的定义延拓到整个实数轴上即可。令为任意一个定义域和值域都为开区间（0，1）的有反函数的函数，它的反函数记为。下面k总表示整数，定义f(x)如下：

用向量来证明不等式，也是方法上的创新，这两种证法都体现了学生的大胆想象力、探究精神和解题机智。一个懂得如何学习的学生在课堂上的想象力是非常丰富的，一个好的教师也应该懂得怎样来培养和保护学生的想象力。有时候，学生的想象力可能是“天马行空”，甚至是荒唐的，这时候教师还要注意引导：解题是否浪费了重要的信息？能否开辟新的解题通道？解题多走了哪些思维回路？思维、运算能否变得简洁？是否有方法的创新？能否对问题蕴涵的知识进行纵向深入地探究，梳理知识的系统性？能否加强知识的横向联系，把问题所蕴涵孤立的知识“点”扩展到系统的知识“面”？为什么有这样的问题，它和哪些问题有联系？能否受这个问题的启发，得到一些重要的结果，有规律性的发现？能否形成独到的新见解，有自己的小发明？等等。通过不断地想象，让学生的思维能够持续飞翔，从而不断培养学生丰富的想象力。