Question

【题目】已知函数。

（I）当时，证明：当时，；

（II）若当时，恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

(1)首先确定函数的单调性，然后结合函数的最小值证明题中的结论即可；

(2)首先求得函数的导函数， 然后对其二次求导，分类讨论和两种情况求解a的取值范围即可.

（1），当a=0时，，

当x≥0时，，所以y=f(x)在x≥0时单调递增，

又因为f(0)=0，f(x)≥f(0)=0.

（2），记，

①当时，x≥0时，，

∴ y=g(x)在x≥0时单调递增，

g(x)≥g(0)=0，即f＇(x)≥f＇(0)，所以y=f(x)在x≥0时单调递增，f(x)≥f(0)=0.

②当时，令，得，

当时，，

∴在单调递减，

∴ g(x)≤g(0)=0，即f＇(x)≤f＇(0)=0，在单调递减，

∴ f(x)＜f(0)=0，与题设矛盾．

综上所述，．