Question

【题目】平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，离心率为，过点且垂直于长轴的弦长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点分别是椭圆的左、右顶点，若过点的直线与椭圆相交于不同两点．

①求证：；

②求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据离心率与垂直于长轴的弦长列出方程，求得的值，从而得到椭圆方程；（II）方法一：（i）分直线的斜率是否为0讨论，当时，设，直线的方程为，联立椭圆方程，结合判别式求得的范围，从而由使问题得证；（ii）由＝结合（ⅰ）用韦达定理写出表达式，利用基本不等式求出最大值；方法二：（i）由题意知直线的斜率存在，设其方程为，联立椭圆方程，由判别式求得的取值范围，从而由使问题得证；（ii）由弦长公式求得，用点到直线的距离求得边上的高线长，从而得到的表达式，进而用换元法求解．

试题解析：解：（1）， 又，

所以．

所以椭圆的标准方程为

（2）（i）当AB的斜率为0时，显然，满足题意

当AB的斜率不为0时，设，AB方程为代入椭圆方程

整理得，则，所以

，

，即

（ii）

当且仅当，即．（此时适合△＞0的条件）取得等号．

三角形面积的最大值是

方法二（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：，

设，联立，整理得，

则，所以

，

，即

（ii）

点到直线的距离为，

=

．

令，则，

当且仅当，即（此时适合△＞0的条件）时，，即

三角形面积的最大值是