Question

【题目】已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；

（3）比较与的大小，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）求出的值可得切点坐标，求出,可得的值，从而得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）由已知，只需证明方程 在区间有唯一解，先利用导数证明在区间单调递增，再利用零点存在定理可得结论；（3）当时，利用导数研究函数的单调性，可得，即 ，令 即可的结果.

试题解析：（1）函数的定义域是，

导函数为． 所以， 又，

所以曲线在点处的切线方程为，

（2）由已知．

所以只需证明方程 在区间有唯一解．

即方程 在区间有唯一解．

设函数 ，则 ．

当 时， ，故在区间单调递增．

又 ， ，

所以 存在唯一的，使得．

综上，存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为．

（3）．证明如下：首先证明：当时， ．

设 ，则 ．

当 时， ， 所以 ，故在单调递增，

所以 时，有，即当 时，有．

所以 ．

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与零点，属于难题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.