Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90° ，以AD为直径的半圆D与BC相切．

(1)求证：OB⊥OC；

(2)若AD＝12，∠BCD＝60° ，⊙O₁与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O₁的面积．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵AB，BC，CD均与半圆O相切，∴∠ABO＝∠CBO，∠DCD＝∠BCO． 　　又AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180° ，即∠ABO＋∠CBO＋∠BCO＋∠DCO＝180° ． 　　∴2∠CBO＋2∠BCO＝180° ，于是∠CBO＋∠BCO＝90° ， 　　∴∠BOC＝180° －(∠CBO＋∠BCO)＝180° －90° ＝90° ，即OB⊥OC． 　　(2)设CD切⊙O1于点M，连接O1M，则O1M⊥CD．设⊙O1的半径为r． 　　∵∠BCD＝60° ，且由(1)知∠BCO＝∠O1CM，∴∠O1CM＝30° ． 　　在Rt△O1CM中，CO1＝2O1M＝2r．在Rt△OCD中，OC＝2OD＝AD＝12． 　　∵⊙O1与半圆D外切，∴OO1＝6＋r，于是，由OO1＋O1C＝OC有6＋r＋2r＝12， 　　解得r＝2，因此⊙O1的面积为4p ．