Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=3，AB=5．点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB﹣BO﹣OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）在点P从O向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t之间的函数关系式（不必写出t的取值范围）；

（3）在点E从B向O运动的过程中，完成下面问题：

①四边形QBED能否成为直角梯形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；

②当DE经过点O时，请你直接写出t的值．

【答案】（1）直线AB的解析式为；（2）S=﹣t2+t；

（3）四边形QBED能成为直角梯形．①t=；②当DE经过点O时，t=或．

【解析】分析：（1）首先由在Rt△AOB中,OA=3,AB=5,求得OB的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）过点Q作QF⊥AO于点F.由△AQF∽△ABO,根据相似三角形的对应边成比例，借助于方程即可求得QF的长，然后即可求得的面积S与t之间的函数关系式；
（3）①分别从DE∥QB与PQ∥BO去分析，借助于相似三角形的性质，即可求得t的值；
②根据题意可知即时，则列方程即可求得t的值．

详【解析】
(1)在Rt△AOB中,OA=3,AB=5,由勾股定理得

∴A(3,0),B(0,4).

设直线AB的解析式为y=kx+b.

∴.解得

∴直线AB的解析式为

(2)如图1，过点Q作QF⊥AO于点F.

∵AQ=OP=t，∴AP=3?t.

由△AQF∽△ABO,得

∴

∴

∴

∴

(3)四边形QBED能成为直角梯形,

①如图2,当DE∥QB时，

∵DE⊥PQ，

∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形.

此时

由△APQ∽△ABO,得

∴

解得

如图3,当PQ∥BO时，

∵DE⊥PQ，

∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形.

此时

由△AQP∽△ABO,得

即

3t=5(3?t)，

3t=15?5t，

8t=15，

解得

(当P从A向0运动的过程中还有两个,但不合题意舍去).

②当DE经过点O时，

∵DE垂直平分PQ，

∴EP=EQ=t，

由于P与Q相同的时间和速度，

∴AQ=EQ=EP=t，

∴∠AEQ=∠EAQ，

∵

∴∠BEQ=∠EBQ，

∴BQ=EQ，

∴

 所以

当P从A向O运动时，

过点Q作QF⊥OB于F，

EP=6?t,

即EQ=EP=6?t，

AQ=t，BQ=5?t，

∴

∴

∵

即

解得：

∴当DE经过点O时, 或.

点睛：本题考查知识点较多，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握和运用各个知识点是解题的关键.

【题型】解答题
【结束】
21

如图，反比例函数y＝(m≠0)与一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象相交于A、B两点，点A的坐标为(－6，2)，点B的坐标为(3，n)．求反比例函数和一次函数的解析式．

Answer 1