Question

如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q。

（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；
（2）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）；
（3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围。

Answer 1

解：（1）存在点P。假设存在一点P，使点Q与点C重合，如图所示， 设AP的长为x，则BP=10-x， 在Rt△APD中，DP2=AD2+AP2，即DP2=42+x2， 在Rt△PBC中，PC2=BC2+PB2，即DP2=42+（10-x）2， 在Rt△PCD中，CD2=DP2+PC2，即102=42+x2+42+（10-x）2， 解得x=2或8， 故当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合，此时AP=2或8；
（2）连接AC，设BP=x，则AP=m-x， ∵PQ∥AC， ∴△PBQ∽△ABC ∴，即①， ∵DP⊥PQ， ∴∠APD+∠BPQ=90°， ∵∠APD+∠ADP=90°，∠BPQ+∠PQB=90°， ∴∠APD=∠BQP， ∴△APD∽△BQP， ∴，即②， ①②联立得，BQ=；
（3）连接DQ，设AP=x，由（1）知 在Rt△APD中，DP2=AD2+AP2，即DP2=42+x2， 在Rt△PBC中，PC2=BC2+PB2，即DP2=42+（m-x）2。 若△PQD为等腰三角形，则42+x2=42+（m-x）2， 解得， ∵BQ=， ∴CQ=4-， ∴S四边形DPQC=S△DPQ+S△DCQ=。