Question

已知抛物线y=ax²﹣2x+c与它的对称轴相交于点A（1，﹣4），与y轴交于C，与x轴正半轴交于B．

（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）设直线AC交x轴于D，P是线段AD上一动点（P点异于A，D），过P作PE∥x轴交直线AB于E，过E作EF⊥x轴于F，求当四边形OPEF的面积等于时点P的坐标．

Answer 1

解：（1）由题意，知点A（1，﹣4）是抛物线的顶点， ∴ ∴a=1，c=﹣3， ∴抛物线的函数关系式为y=x2﹣2x﹣3； （2）由（1）知，点C的坐标是（0，﹣3）． 设直线AC的函数关系式为y=kx+b， 则 ∴b=﹣3，k=﹣1， ∴y=﹣x﹣3． 由y=x2﹣2x﹣3=0，得x1=﹣1，x2=3 ∴点B的坐标是（3，0）． 设直线AB的函数关系式是y=mx+n， 则  ∴m=2，n=﹣6． ∴直线AB的函数关系式是y=2x﹣6． 设P点坐标为（xP，yP），则yP=﹣xP﹣3． ∵PE∥x轴， ∴E点的纵坐标也是﹣xP﹣3． 设E点坐标为（xE，yE）， ∵点E在直线AB上， ∴﹣xP﹣3=2xE﹣6， ∴xE=． ∵EF⊥x轴， ∴F点的坐标为（，0）， ∴PE=xE﹣xP=，OF=，EF=﹣（﹣xP﹣3）=xP+3， ∴S四边形OPEF=（PE+OF）·EF=（+）·（xP+3）=， 2xP2+3xP﹣2=0， ∴xP=﹣2，， 当y=0时，x=﹣3， 而﹣3＜﹣2＜1，， ∴P点坐标为和（﹣2，﹣1）.