Question

20．如图，MN经过△ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）连结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）根据MN∥BC，得到$\frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BD}$，$\frac{AN}{BC}=\frac{AE}{CE}$，等量代换得到$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，根据相似三角形的判定即可得到结论；
（2）根据$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，得到DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，于是推出$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵MN∥BC，
∴$\frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BD}$，$\frac{AN}{BC}=\frac{AE}{CE}$，
又∵AM=AN，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，
∴△ADE∽△ABC；

（2）解：∵$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，
∴DE∥BC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AM}{BC}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴AM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
∴MN=2AM=3．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．