Question

在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A佀B佀C向终点C运动，连接DM交AC于点N.

（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：
①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值．
（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≦x≦12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．

Answer 1

解：（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠1=∠2． 又∵AN=AN， ∴△ABN≌△ADN． ②作MH?DA交DA的延长线于点H．由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°． 在Rt△AMH中，MH=AMsin60°=4?sin60°=2． ∴点M到AD的距离为2． ∴AH=2．?DH=6+2=8． 在Rt△DMH中，tan∠MDH=， 由①知，∠MDH=∠ABN=α，∴tanα=；
（2）∵∠ABC=90°， ∴菱形ABCD是正方形．∴∠CAD=45°． 下面分三种情形： （Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°． 此时，点M恰好与点B重合，得x=6； （Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°． 此时，点M恰好与点C重合，得x=12； （Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2． ∵AD∥BC，∴∠1=∠4， 又∠2=∠3， ∴∠3=∠4．∴CM=CN． ∴AC=6． ∴CM=CN=AC﹣AN=6﹣6． 故x=12﹣CM=12﹣（6﹣6）=18﹣6． 综上所述：当x=6或12或18﹣6时，△ADN是等腰三角形．