Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．
（1）求PE、AE的长（用x的代数式表示）
（2）当△PAQ∽△BCE时，求x的值；
（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理求得AC=10；根据相似三角形△APE∽△ADC的对应边成比例来求PE、AE的长（用x的代数式表示）；
（2）根据相似三角形的对应边成比例列出关于x的方程

8-x

8

=

x

10-(10- 5 4 x)

，通过解该方程来求x的值；
（3）存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形，分两种情况考虑：当Q在AE上时，由AE-AQ表示出QE，再根据PQ=PE，PQ=EQ，PE=QE三种情况，分别列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意x的值；当Q在EC上时，由AQ-AE表示出QE，此时三角形为钝角三角形，只能PE=QE列出关于x的方程，求出方程的解得到满足题意x的值，综上，得到所有满足题意的x的值．

解答：解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，AD=BC=8，AB=DC=6，
∴AC=

AD2+CD2

=10．
∵PE∥DC，
∴△APE∽△ADC，
∴

AP

AD

=

PE

CD

，即

8-x

8

=

PE

6

，
∴PE=6-

3

4

x；
同理

AE

AC

=

AP

AD

，即

AE

10

=

8-x

8

，
∴AE=10-

5

4

x；

（2）当△PAQ∽△BCE时，

PA

BC

=

AQ

CE

，即

8-x

8

=

x

10-(10- 5 4 x)

，
解得x=

8

5

．
经检验，x=

8

5

符合题意，
故x=

8

5

；

（3）存在．分两种情况：
如图1，当Q在线段AE上时：QE=AE-AQ=10-

5

4

x-x=10-

9

4

x；
（i）当QE=PE时，10-

9

4

x=6-

3

4

x，
解得x=

8

3

；
（ii）当QP=QE时，∠QPE=∠QEP，
∵∠APQ+∠QPE=90°，∠PAQ+∠QEP=90°，
∴∠APQ=∠PAQ，
∴AQ=QP=QE，
∴x=10-

9

4

x，
解得x=

40

13

；
（iii）如图2，当QP=PE时，过P作PF⊥QE于F，
可得：FE=

1

2

QE=

1

2

（10-

9

4

x）=

40-9x

8

，
∵PE∥DC，
∴∠AEP=∠ACD，
∴cos∠AEP=cos∠ACD，
∴

EF

PE

=

CD

AC

=

3

5

，即

40-9x 8

6- 3 4 x

=

3

5

，
解得x=

56

27

；
当点Q在线段EC上时，△PQE只能是钝角三角形，如图3所示：
∴PE=EQ=AQ-AE，AQ=x，AE=10-

5

4

x，PE=6-

3

4

x，
∴6-

3

4

x=x-（10-

5

4

x），
解得x=

16

3

．
综上所述，当x=

8

3

，x=

40

13

，x=

56

27

或x=

16

3

时，△PQE为等腰三角形．

点评：此题考查了相似综合题，涉及的知识有：矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，梯形的判定，以及等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面．