Question

已知抛物线y=ax²+bx=c(a≠0)的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为.
（1）求该抛物线的函数关系式及点A的坐标；
（2 ）在抛物线上求点P, 使；
（3）在抛物线上是否存在点Q,使△QAO与△AOB相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1 ）∵抛物线的顶点为B
∴设
抛物线经过原点（0、0）
∴
∴
∴，即
令y=0得：
解得x₁=0，x₂=6，∴A的坐标为（6,0）        
（2）∵△AOB与△POA同底不同高，且
∴△POA中OA边上的高是△AOB中OA边上高的2倍
即P 点纵坐标是
∴
解得
∴
（3）过B作BC⊥轴于C
在Rt△OBC中，tan∠OBC=
∴∠OBC=60°，而OB=AB,故∠OBA=120°
分两种情况：当点Q在x轴下方时，△QAO就是△BAO,
此时Q点坐标Q
当点Q在轴上方时，由△ABO∽△QAO,有AQ=OA=6，∠OAQ=120°,
作QD⊥x轴,,垂足为D，则∠QAD=60°,∴QD=,AD=3，
∴OD=9.
此时Q点坐标是
而满足关系，即Q在抛物线上
根据对称性可知点也满足条件
∴Q点坐标为Q₁,Q₂,Q₃