Question

已知α+θ=1，αθ=﹣1．设S₁=α+θ，S₂=α²+θ²，S₃=α³+θ³，…，S_n=αⁿ+θⁿ
（1）计算：S₁=_________，S₂=_________，S₃=_________，S₄=_________；
（2）试写出S_n﹣2、S_n﹣1、S_n三者之间的关系；
（3）根据以上得出结论计算：α⁷+θ⁷．

Answer 1

解：（1）α +θ=1，αθ=﹣1．
∴S₁=α+θ=1．
S₂=α²+θ²=（α+θ）²﹣2αθ=1+2=3．

（2）由（1）得：S_n=S_n﹣1+S_n﹣2．
证明：α，θ是方程x²﹣x﹣1=0的两根，
∴有：α²=α+1，θ²=θ+1，
S_n﹣1+S_n﹣2=α^n﹣1+θ^n﹣1+α^n﹣2+θ^n﹣2
=+++
=+
=αⁿ+θⁿ
=S_n．
故Sn=Sn﹣1+Sn﹣2．
（3）由（2）有：