Question

如图，抛物线y=ax²+bx-3，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 且OB=OC=3OA。
（1）求抛物线的解析式；
（2）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）直线y=-x+1交y轴于D点，E为抛物线顶点，若∠DBC=α，∠CBE=β，求α-β的值。

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-3与y轴交C点（0，-3），且OB=OC=3OA， ∴A（-1，0），B（3，0），代人y= ax2+bx-3，得 解得a=1，b=-2， ∴y=x2-2x-3；
（2）①当∠P1AC=90° 可证△P1AO∽△ACO， ∴Rt△P1AO中，tan ∠P1AO=tan∠ACO=，P1（0，）， ②同理：如图，当∠P2CA=90°时，P2（9，0）， ③当∠CP3A=90°时，P3（0，0）， 综上，坐标轴上存在三个点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形，分别是 P1（0，），P2（9，0），P3（0，0）；
（3）由y=-x+1，得D（0，1）， 由y=x2-2x -3，得顶点 E（1，-4）， ∴ ∵BC2+CE2=BE2 ∴△BCE为直角三角形， ∴tanβ=CE/CB=， 又∵Rt△DOB中，tan∠DBO=OD/OB=， ∴∠DBO=∠β， ∴∠α-∠β=∠α-∠DBO=∠OBC=45°。