Question

5．如图1，∠A₁BC、∠A₁CM的角平分线BA₂、CA₂相交于点A₂，
（1）如果∠A₁=68°，那么∠A₂的度数是多少，试说明理由；
（2）如图2，如果∠A₂BC、∠A₂CM的角平分线BA₃、CA₃相交于点A₃，请直接写出∠A₃的度数；
（3）如图2，重复上述过程，∠A_n-1BC、∠A_n-1CM的角平分线BA_n、CA_n相交于点A_n得到∠A_n，设∠A₁=θ，请用θ表示∠A_n（直接写出答案）
解：（1）结论：∠A₂=34度．说理如下：因为BA₂、CA₂平分∠A₁BC和∠A₁CM（已知），
所以∠A₁BC=2∠1，∠A₁CM=2∠2（角平分线的定义）．
因为∠A₁CM=∠A₁BC+∠∠A₁，∠2=∠1+∠A₂（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
（完成以下说理过程）

Answer 1

分析 （1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质即可求解；
（2）根据（1）的解法即可直接求解；
（3）利用（1）的结论求解．

解答 解：（1）结论：∠A₂=34度．
说理如下：因为BA₂、CA₂平分∠A₁BC和∠A₁CM（已知），
所以∠A₁BC=2∠1，∠A₁CM=2∠2（  角平分线的意义  ）．
因为∠A₁CM=∠A₁BC+∠A₁，∠2=∠1+∠A₂，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
所以∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁，
因为∠A₁=68°，
所以∠A₂=34°，
故答案为：34；角平分线的定义；A₁；A₂；
（2）∠A₃=17°．
（3）∠A_n=$\frac{θ}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确解决（1），读懂题意是关键．