Question

已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是OB、OC上的动点，

(1)如果动点E、F满足BE＝CF(如图)：

①写出所有以点E或F为顶点的全等三角形(不得添加辅助线)；

②证明：AE⊥BF；

(2)如果动点E、F满足BE＝OF(如图)，问当AE⊥BF时，点E在什么位置，并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)①根据正方形性质及BE＝CF即可得出全等的三角形，②根据全等三角形及正方形的性质即可得出结论， 　　(2)根据正方形性质及已知条件得出△BEM∽△AEO，△BEM∽△BOF，再根据三角形相似的性质即可得出答案． 　　解答：(1)解：①△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF， 　　②证明：根据正方形的性质， 　　∵， 　　∴∠BAE＝∠CBF， 　　根据外角性质，∠AFB＝∠BCF＋∠CBF＝45°＋∠CBF， 　　又∵∠FAM＝45°－∠BAE， 　　∴∠AMF＝180°－(∠FAM＋∠AFM)＝180°－(45°＋∠CBF＋45°－∠BAE)＝90°， 　　∴AE⊥BF； 　　(2)AE⊥BF于点M，如图所示： 　　∵∠BME＝∠AOE，∠BEM＝∠AEO， 　　∴△BEM∽△AEO， 　　∴＝＝， 　　即AO＝＝， 　　∵∠MBE＝∠OBF，∠BME＝∠BOF， 　　∴△BEM∽△BOF， 　　∴＝＝， 　　即BO＝＝， 　　∵AO＝BO，BE＝OF， 　　∴BE＝EO， 　　∴当AE⊥BF时，点E在BO中点． 　　点评：本题主要考查了全等三角形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定及性质，比较综合，难度较大．

提示：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质．