Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（－，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D。设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E。

  （1）求该抛物线的解析式；

  （2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；

  （3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，连接PM、DN，若PM＝2DN，求点N的坐标（直接写出结果）。 

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（－，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，

                 ∴抛物线的解析式可设为，

                 将C（0，3）代入得，解得。

                 ∴抛物线的解析式为，即。

 （2）存在。如图，

      由得对称轴l为，

      由B（3，0）、C（0，3）得tan∠OBC=，

      ∴∠OBC==30⁰。

      由轴对称的性质和三角形外角性质，得

∠ADP==120⁰。

由锐角三角函数可得点D的坐标为（，2）。

∴DP=CP=1，AD=4。

①在y轴正方向上存在点Q₁，只要CQ₁=4，

则由SAS可判断△Q₁CD≌△ADP，

此时，Q₁的坐标为（0，7）。

②由轴对称的性质，得Q₁关于直线BC的对称点Q₂也满足

△Q₂CD≌△ADP，

过点Q₂作Q₂G⊥y轴于点G，则在Rt△CQ₂G中，由Q₂C=4，∠Q₂CG=60⁰

可得

CG=2，Q₂G=2。∴OG=1。∴Q₂的坐标为（－2，1）。

③在对称轴l点P关于点D的反方向上存在点Q₃，只要DQ₃=4，

则△Q₃DC≌△ADP，

此时，Q₃的坐标为（，－2）。

④由轴对称的性质，得Q₃关于直线BC的对称点Q₄也满足

△Q₂DC≌△ADP，

过点Q₄作Q₄H⊥l于点H，则在Rt△DQ₄H中，由Q₄D=4，∠Q₄DH=60⁰

可得

DH=2，HQ₄=2。∴Q₄的坐标为（3，4）。

综上所述，点Q的坐标为（0，7）或（－2，1）或（，－2）或（3，4）。

（3）（）。