Question

如图，正三角形ABC的中心O恰好为扇形ODE的圆心，且点E在扇形内．要使扇形ODE绕点O无论怎样转动，△ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC面积的，扇形的圆心角应为多少度?说明你的理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

当扇形的圆心角为120°时，△ABC与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC的面积的． (1)当扇形的圆心角与正三角形的中心角重合时，显然，△ABC与扇形重叠部分的面积等于△ABC面积的． (2)当扇形的圆心角与正三角形的中心角不重合时，连结OA、OB．设OD交AB于F，OE交BC于G． ∵　O是正三角形的中心， ∴　OA=OB，∠OAF=∠OBG，∠AOB=120°． ∴　∠AOF=120°-∠BOF，∠BOG=120°-∠BOF． ∴　∠AOF=∠BOG．∴　△AOF≌△BOG， 即S四边形OFBG=SΔABC． ∴　当扇形的圆心角为120°时，△ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC面积的．