Question

如图，在□OABC 中，点A 在x 轴上，∠AOC=60°，0C=4cm，OA=8cm，动点P从点O出发，以1cm ／s 的速度沿线段OA→AB 运动；动点Q同时从点O出发，以acm ／s 的速度沿线段OC →CB 运动，其中一点先到达终点B 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒。
(1) 填空：点C 的坐标是(______ ，______) ，对角线OB 的长度是_______cm ；
(2) 当a=1 时，设△OPQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并直接写出当t 为何值时，S 的值最大?        
(3) 当点P 在OA 边上，点Q 在CB 边上时，线段PQ 与对角线OB 交于点M. 若以O 、M 、P为顶点的三角形与△OAB 相似，求a 与t 的函数关系式，并直接写出t 的取值范围．

Answer 1

解：(1)C(2 ，2)，OB=4cm．

(2)①当0<t≤4时，          
过点Q作QD⊥x轴于点D(如图1)，则QD=t．          
∴S=OP·QD=t². ②当4 ≤t ≤8 时，              
作QE ⊥x 轴于点E( 如图2) ，则QE=2.            
∴S =DP·QE=t．

③当8 ≤t<12 时，  
解法一：延长QP 交x 轴于点F ，过点P 作PH ⊥AF 于点H( 如图3) ．  
易证△PBQ 与△PAF 均为等边三角形，
∴OF=OA+AP=t,AP=t-8 ．
∴PH=(t-8).
∴S=S△OQF-S△OPF
     =t·2-t·(t-8)
      =-t²+3t．   
 当t=8时，S最大．

解法二：过点P 作PH ⊥x 轴于点H( 如图3) ．   易证△PBQ 为等边三角形．  
∵AP=t-8 ．  
∴PH=(t-8)．
∴S=S_OABQ-S_△PBQ- S_△OAP     
=(20-t)- (12-t)²-2(t-8)．
=-t²+3t．   
当t=8时，S最大．
(3)①当△OPM∽△OAB时(如图4)，则PQ∥AB．  
∴CQ=OP．  
∴at-4=t，a=1+. 
t的取值范围是0<t≤8．

图4
②当△OPM ∽△OBA 时( 如图5) ，    
则，  
  ∴,    
∴OM=．
又∵QB∥OP，   
 ∴△BQM∽△OPM，    
∴,
∴,    
整理得t-at=2，
∴a=1-.
t的取值范围是6≤t≤8．        
综上所述：a=1+(0<t≤8)或a=1-(6≤t≤8)．