Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x。 （1）当x的值为 _________ 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形； （2）当x的值为 _________ 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形； （3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由。

Answer 1

解： （1）如图，分别过A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N， ∵AM=DN，AD=MN=5，而CD=，∠C=45°， ∴DN=CN=CDsin∠C=4x=4=AM， ∴BM=CB﹣CN﹣MN=3， 若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，则∠APC=90°或∠DPB=90°，当∠APC=90°时， ∵P与M重合， ∴BP=BM=3； 当∠DPB=90°时， ∴P与N重合， ∴BP=BN=8； 故当x的值为3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形； （2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，有两种情况： ①当P在E的左边， ∵E是BC的中点， ∴BE=6， ∴BP=BE﹣PE=6﹣5=1； ②当P在E的右边，BP=BE+PE=6+5=11；故当x的值为1或11时， 以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形； （3）由（2）知，当BP'=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形 ∴EP=AD=5，过D作DN⊥BC于N， ∵CD=，∠C=45°， 则DN=CN=4， ∴NP'=BP'﹣BN=BP'﹣（BC﹣CN）=11﹣12+4=3． ∴DP'===5， ∴EP'=DP'，故此时□P'DAE是菱形。 即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形。