Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式y=-x+2并且线段CM的长为。

（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x轴有两个交点A（x₁，0）、B（x₂，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长；
（3）若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。

Answer 1

解：（1）由已知，直线CM：y=-x+2与y轴交于点C（0，2）抛物线y=ax²+bx+c过点C（0，2），
所以c=2，抛物线y=ax²+bx+c的顶点M在直线CM上，
所以
解得b=0或b=-2
若b=0，点C、M重合，不合题意，舍去
所以b=-2。即M
过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在中，
所以
解得
∴所求抛物线为：或。
（2）∵抛物线与x轴有两个交点
∴不合题意，舍去。
∴抛物线应为：
抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧
∴由
得。
（3）∵AB是⊙N的直径，
∴r=
N（-2，0）
又∵M（-2，4），
∴MN=4
设直线与x轴交于点D，则D（2，0），
∴DN=4，可得MN=DN，
∴，
作NG⊥CM于G，
在 = r
即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径
∴直线CM与⊙N相切。