Question

已知△ABC中，∠C=90°，三边为a，b，c，若关于x的方程a(1-x2)-2

2

bx+c(1+x2)=0的两根平方和为12，则a：b：c=______．

Answer 1

先把关于x的方程a(1-x2)-2

2

bx+c(1+x2)=0整理为：（c-a）x²-2

2

bx+c+a=0，
设此方程两根为x₁，x₂，∴x₁+x₂=

2 2 b

c-a

，x₁x₂=

c+a

c-a

，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=12，
(

2 2 b

c-a

)2-2

c+a

c-a

=12，把b²=a²-c²代入得：c²-4ac+3c²=0，
（c-a）（c-3a）=0，
∵c＞0，∴c=3a，b=2

2

a，
a：b：c=1：2

2

：3．
故答案为：1：2

2

：3．