Question

如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF。

（1）求证：∠ADP=∠EPB；
（2）求∠CBE的度数；
（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由。

Answer 1

解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD， ∴∠ADP+∠APD=90°， ∵∠DPE=90°， ∴∠APD+∠EPB=90°， ∴∠ADP=∠EPB； （2）过E点作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则 ∠EGP=∠A=90°， 又∵∠ADP=∠EPB，PD=PE， ∴△PAD≌△EGP， ∴EG=AP，AD=AB=PG， ∴AP=EG=BG， ∴∠CBE=∠EBG=45°； （3）当时，△PFD∽△BFP， ∵∠ADP=∠FPB，∠A=∠PBF， ∴△ADP∽△BPF， 设AD=AB=a，则AP=PB=a， ∴BF=BP·， ∴PD=，PF=， ∴， 又∵∠DPF=∠PBF=90°， ∴△PFD∽△BFP。