Question

18、已知x₁，x₂，…，x₃₁都是正整数，满足x₁＜x₂＜…＜x₃₁，如果x₁+x₂+…+x₃₁=2009，求x₃₁的最大值和最小值．

Answer 1

分析：根据已知可得x₃₁=2009-（x₁+x₂+…+x₃₀），当（x₁+x₂+…+x₃₀）最小时，x₃₁最大，此时x₁+x₂+…+x₃₀=1+2+…+30，代入可求x₃₁的最大值；当（x₁+x₂+…+x₃₀）最大时，x₃₁最小，根据“夹逼法”求x₃₁最小值．

解答：解：由巳知可得x₃₁=2009-（x₁+x₂+…+x₃₀），
要使x₃₁最大，应使（x₁+x₂+…+x₃₀）最小，
由于x₁+x₂+…+x₃₁=2009，
因此x₃₁最大值为：
2009-（1+2+…+30）=2009-465=1544；
要使x₃₁最小，应使（x₁+x₂+…+x₃₀）最大，
∵79+78+…+50+49=1984＜2009，
80+79+…+51+50=2015＞2009，
可得80+79+…+52+51+44=2009，
因此x₃₁最小值为80．

点评：本题考查了整数问题的综合运用．关键是把x₁+x₂+…+x₃₀看作整体，根据已知条件求其最大值和最小值．