Question

如图，直线y=3x+3与x轴交于A点，与y轴交于B点，以AB为直角边作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，AC=AB，双曲线y=

k

x

经过C点
①求双曲线的解析式；
②点P为第四象限双曲线上一点，连接BP，点Q（x、y）为线段AB上一动点，过Q作QD⊥BP，若QD=n，问是否存在一点P使y+n=3？若存在，求直线BP解析式；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：①过点C作CD⊥x轴于点D，构建全等三角形△ADC≌△BOA；然后根据全等三角形的对应边相等求得点C的坐标；最后由待定系数法求双曲线的解析式．
②过点Q作QM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．构建全等三角形△BQN≌△QBD；然后由全等三角形的对应边相等、勾股定理（在直角△BOE中）求得点E的坐标；最后把点B、E的坐标分别代入一次函数解析式，利用待定系数法来求直线BP的解析式．

解答：解：①过点C作CD⊥x轴于点D．
由y=3x+3得，A（-1，0），B（0，3），
∴OA=1，OB=3．
∵∠CAD+∠BAO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CAD=∠AOB．
∵AC=AB，∠CAD=∠AOB=90°，
∴△ADC≌△BOA，
∴CD=OA=1，AD=OB=3，
∴OD=OA+AD=4，
∴C（-4，1），
∴k=xy=（-4）×1=-4，
∴该双曲线的解析式是y=-

4

x

；

②过点Q作QM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．
∵∠MON=90°，
∴四边形OMQN是矩形，
∴QM=ON．
∵y+n=3，OM=3，
∴ON+QD=OB，
∵ON+BN=OB，
∴QD=BN．
∵∠QNB=∠BDQ=90°，BQ=QB，
∴△BQN≌△QBD，
∴∠BQN=∠QBD，
∵QN∥OA，
∴∠BQN=∠BAO，
∴∠BAO=∠QBD，
∴AE=DE．
设OE=x．则BE=AE=x+1．
在直角△BOE中，由勾股定理，得
32+x²=（x+1）²，
解得，x=4，
∴E（4，0）．
设直线BP的解析式是：y=kx+b（k≠0）
∴

b=3 4k+b=0

，
解得

k=- 3 4 b=3

，
∴y=-

3

4

x+3．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式．在设一次函数解析式时，不要忘记自变量x的系数不为零．