Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=2AD，点E为AB的中点，过点E作EG⊥CD于点G，延长EG、AD相交于点F，连接BG．
（1）求证：EF=CD；
（2）求证：∠F=∠BGE．

Answer 1

证明：（1）过点D作DH⊥BC于H，则∠DHB=∠ABC=∠A=90°，ABHD为矩形，
从而可得：AD=BH，AB=DH，
∵AB=BC=2AD，点E为AB的中点，
∴AE=BE=

1

2

AB=

1

2

BC=AD=BH，
∴AE=CH，
∵EG⊥CD，
∴∠DGF=∠HDF=90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠F=90°，
∴∠1=∠F，
在△AEF和△HCD中，
∵

∠EAF=∠CHD ∠F=∠1 AE=HC

，
∴△AEF≌△HCD（AAS），
∴EF=CD；

（2）延长FE、CB交于点M，
∵AD∥BC，
∴∠F=∠M，
在△AEF和△BME中，
∵

∠F=∠M ∠3=∠4 AE=BE

，
∴△AEF≌△BME（AAS），
∴AF=BM=BC，
∵EG⊥CD，
∴BG=

1

2

CM=BM，
∴∠M=∠BGE=∠F．