Question

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于两点A（1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若点D（m，

5

4

）是抛物线y=ax²+bx+c上的一点，请求出tan∠OCD的值．

Answer 1

分析：（1）由抛物线与x轴的两交点A和B的坐标，设出抛物线的二根形式，将C的坐标代入求出a的值，进而确定出抛物线的函数关系式；
（2）将D的纵坐标代入第一问求出的抛物线解析式中，求出x的值，即为D的横坐标，确定出D的坐标，如图所示过y轴上的点（0，

5

4

）作出直线y=

5

4

，与抛物线的交点即为D的位置，连接CD，分别求出CE及ED，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义即可求出tan∠OCD的值．

解答：解：（1）∵抛物线与x轴相交于两点A（1，0）、B（3，0），
∴设抛物线的两根形式为：y=a（x-1）（x-3），
又抛物线与y轴交于C（0，3），
∴将x=0，y=3代入抛物线解析式得：3=3a，解得：a=1，
则抛物线的解析式为y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；
（2）抛物线y=x²-4x+3中，
令y=

5

4

，得到x²-4x+3=

5

4

，解得：x₁=

7

2

，x₂=

1

2

，
∴D的坐标为（

1

2

，

5

4

）或（

7

2

，

5

4

），

在Rt△CED中，CE=OC-OE=3-

5

4

=

7

4

，ED=

1

2

，
∴tan∠OCD=

ED

CE

=

1 2

7 4

=

2

7

；
在Rt△CED′中，CE=

7

4

，ED′=

7

2

，
∴tan∠OCD′=

7 2

7 4

=2，
综上，tan∠OCD的值为

2

7

或2．

点评：此题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与坐标轴的交点，以及锐角三角函数定义，利用了数形结合的思想，本题第一问注意运用抛物线的二根式来设，第二问注意tan∠OCD的值有两解，不要漏解．