Question

在平面直角坐标系中，如图，点A的坐标是（2，0），点D在y轴的正半轴上，以线段AD为边向外作正方形ABCD如图所示，该正方形的中心M（3，3），那么点D的坐标为

 

，直线BC的解析式是

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,待定系数法求一次函数解析式,全等三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：连接MA、MD，过点M作ME⊥x轴于E，作MF⊥y轴于F，根据点M的坐标判断出四边形OEMF是正方形，然后求出ME=MF，再利用“HL”证明Rt△AEM和Rt△DFM全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AE，再根据点A的坐标求出OA，然后求出AE，再求出OD，写出点D的坐标即可；
过点B作BG⊥x轴于G，求出∠ADO=∠BAG，然后利用“角角边”证明△AOD和△BAG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=OD，BG=OA，从而写出点B的坐标，过点C作CH⊥y轴于H，同理可得CH=OD，DH=OA，然后求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．

解答：解：如图，连接MA、MD，过点M作ME⊥x轴于E，作MF⊥y轴于F，
∵正方形ABCD的中心是M（3，3），
∴AM=DM，四边形OEMF是正方形，
∴ME=MF=3，
在Rt△AEM和Rt△DFM中，

AM=DM ME=MF

，
∴Rt△AEM≌Rt△DFM（HL），
∴DF=AE，
∵A（2，0），
∴OA=2，
∴AE=OE-OA=3-2=1，
∴OD=OF+DF=OF+AE=3+1=4，
∴点D的坐标为（0，4）；

过点B作BG⊥x轴于G，
∵∠ADO+∠OAD=90°，∠BAG+∠OAD=90°，
∴∠ADO=∠BAG，
在△AOD和△BAG中，

∠ADO=∠BAG ∠AOD=∠BGA=90° AB=AD

，
∴△AOD≌△BAG（AAS），
∴AG=OD=4，BG=OA=2，
∴OG=OA+AG=2+4=6，
∴点B的坐标为（6，2），
过点C作CH⊥y轴于H，
同理可得CH=OD=4，DH=OA=2，
∴OH=OD+DH=4+2=6，
∴点C的坐标为（4，6），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

6k+b=2 4k+b=6

，
解得

k=-2 b=14

，
∴设直线BC的解析式为y=-2x+14．
故答案为：（0，4）；y=-2x+14．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，难点在于作辅助线构造出全等三角形以及以点O、M为顶点的正方形．