Question

如图，抛物线y=ax2+

3

2

x+2与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
（1）直接写出C点的坐标和a的取值范围；
（2）连接AC、BC，若∠ACB=90°，
①求抛物线的解析式；
②点P为抛物线的对称轴的一个动点，若|PA-PC|的值最大，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）通过函数图象可以很清楚地看出C点的坐标和a的取值范围；
（2）①由于∠ACB=90°，OC²=OA•OB，由A、B两点横坐标为方程ax2+

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2

x+2=0的两根，由两根之积求出a的大小，求出抛物线的解析式；
②若|PA-PC|的值最大，则P、A、C三点共线，求出P点坐标．

解答：解：（1）C（0，2），a＜0．

（2）①连接AC、BC，

∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，

AO

CO

=

CO

CB

，CO²=AO•BO
设A（x₁，0），B（x₂，0），
∴2²=-x₁x₂，4=-

2

a

∴a=-

1

2

，
∴抛物线的解析式是：y=-

1

2

x2+

3

2

x+2
②当点P在AC的延长线上时，|PA-PC|的值最大（否则三角形中两边之差小于第三边）
设AC的解析式为y=kx+b，
根据抛物线解析式得A（-1，0），C（0，2），
分别代入可得AC的解析式为y=2x+2
抛物线的对称轴是x=

3

2

，
由于点P在AC的解析式上，当x=

3

2

时，y=5
所以P（

3

2

，5）．

点评：本题是一道数形结合的综合类题型，考查了同学们由图象求解函数解析式，并将几何语言转化为代数求解的能力．