某课题组在探究“泵站问题”时抽象出数学模型：
直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为；
（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值；
（3）代数应用：求代数式

x2+1

+

(4-x)2+4

（0≤x≤4）的最小值．

如图，已知：⊙O₁与⊙O₂外切于点O，以直线O₁O₂为x轴，点O为坐标原点，建立直角坐标系，直线AB切⊙O₁于点B，切⊙O₂于点A，交y轴于点C（0，2），交x轴于点M．BO的延长线交⊙O₂于点D，且OB：OD=1：3．
（1）求⊙O₂半径的长；
（2）求线段AB的解析式；
（3）在直线AB上是否存在点P，使△MO₂P与△MOB相似？若存在，求出点P的坐标与此时k=

S△MO2P

S   △MOB

的值，若不存在，说明理由．

如图．直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上．OA∥BC，OA=4

2

，OC=

3

2

2

，
∠OAB=45°，D是BC上一点，CD=

3

2

2

．E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°，设OE=x，AF=y．
（1）AB=，BC=，∠DOE=；
（2）证明△ODE∽△AEF，并确定y与x之间的函数关系；
（3）当AF=EF时，将△AEF沿EF折叠，得到△A′EF，求△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积．

如图，正方形ABCD的顶点C在反比例函数y=

k

x

(x＞0)上，把该正方形ABCD绕其顶点C顺时针旋转180°得四边形A′B′CD′，A′D′边恰好在x轴正半轴上，已知A（-1，6）．
（1）求k的值；
（2）若A′B′与y=

k

x

交于点E，求△BCE的面积．

如图，平面直角坐标系中的△ABO与⊙P，若P、A、B三点的坐标分别为P（2，0）、A（0，2

3

）、B（-

3

，

3

），且⊙P的半径为1，完成下列问题：
（1）将△ABO绕点O顺时针旋转α角（α为锐角），使OA与⊙P相切，请在图中画出旋转后的△A′B′O，并求出旋转角α的大小；
（2）在（1）的情况下求A′、B′的坐标．

如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面AB平行的护栏MN（MN=AB）．小明量得每一级石阶的宽为32cm，高为24cm，爬到山顶后，小华数得石阶一共100级，如果每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求出坡角∠BAC的大小（精确到度）和护栏MN的长度．
以下数据供选用：

tan36°52′12″=0.7500，tan53°7′48″=1.3333， sin36°52′12″=0.6000，sin53°7′48″=0.8000

．

A、 7 4

B、8-2 3

C、 25 4

D、6 2

课题学习
●探究：
（1）在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．
①若A（-1，0），B（3，0），则E点坐标为；
②若C（-2，2），D（-2，-1），则F点坐标为；
（2）在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的
代数式表示），并给出求解过程．
●归纳：
无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y） 时，
x=，y=．（不必证明）
●运用：
在图2中，y=|x-1|的图象x轴交于P点．一次函数y=kx+1与y=|x-1|的图象交点为A，B．
①求出交点A，B的坐标（用k表示）；
②若D为AB中点，且PD垂直于AB时，请利用上面的结论求出k的值．