如图1，点G、F分别是等腰△ABC、等腰△ADE底边的中点，∠BAC＝∠DAE＝∠，点P是线段CD的中点．试探索：∠GPF与∠的关系，并加以证明．

说明：⑴如果你反复探索，没有解决问题，请写出探索过程（要求至少写3步）；

⑵在你完成⑴之后，可以从如图2，如图3中选取一个图，完成解答（选取图2得10分；选取图3得5分）．

如图24－1，P₁、P₂、P₃、……、P_n分别是抛物线与直线、、、……、 的交点，连结P₁P₂、P₂P₃，……，P_k－1P_k．

⑴求△OP₁P₂的面积，并直接写出△OP₂P₃ 的面积；

⑵如图24－2，猜想△OP_k－1P_k的面积，并说明理由；

⑶若将抛物线改为抛物线，其它条件不变，猜想△OP_k－1P_k的面积(直接写出答案)．

．

⑴操作：如图23－1，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转．

    求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．

   ⑵思考：如图23－2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为__________时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；如图23－3，当扇形纸板的圆心角为_________时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.(直接填空)

   ⑶探究：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为________度时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；

这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系(不需证明)；若不是定值，请说明理由。

已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF＝2，

BF＝1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

直线分别与轴、轴交于B、A两点．

⑴求B、A两点的坐标；

⑵把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平面上的点C处，以BC为一边作等边△BCD求D点的坐标．

某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球实验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇兑起来后，摸到红球次数为6000次．

⑴估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是多少？

⑵请你估计袋中红球接近多少个？

如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B、C是⊙O上一点，若∠APB = 40°，求∠ACB的度数．

如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四个角各截去一个正方形，制成高是5cm，容积是500cm³的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽．

某企业的年产值在两年内从1000万元增加到1210万元，求平均每年增长的百分率。

已知关于x的方程的一个解与方程的解相同．

⑴求k的值；

⑵求方程的另一个解.