解：（1）由抛物线C₁：得顶点P的坐标为（2，5）………….1分

∵点A（－1，0）在抛物线C₁上∴.………………2分

（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G..

∵点P、M关于点A成中心对称,

∴PM过点A，且PA＝MA..

∴△PAH≌△MAG..

∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.

∴顶点M的坐标为（，5）.………………………3分

∵抛物线C₂与C₁关于x轴对称，抛物线C₃由C₂平移得到

∴抛物线C₃的表达式.  …………4分

（3）∵抛物线C₄由C₁绕x轴上的点Q旋转180°得到

∴顶点N、P关于点Q成中心对称.

 由（2）得点N的纵坐标为5.

设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PR⊥NG于R.

∵旋转中心Q在x轴上,

∴EF＝AB＝2AH＝6.

 ∴EG＝3，点E坐标为（，0），H坐标为（2，0），R坐标为（m，－5）.

根据勾股定理，得

①当∠PNE＝90º时，PN²+ NE²＝PE²，

解得m＝，∴N点坐标为（，5）

②当∠PEN＝90º时，PE²+ NE²＝PN²，

解得m＝，∴N点坐标为（，5）.

③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º  ………7分

综上所得，当N点坐标为（，5）或（，5）时，以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形．…………………………………………………………………………………8分

如图，已知抛物线：的顶点为，与轴相交于两点（点在点的左边），点的横坐标是．

（1）求点坐标及的值；

（2）如图1，抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向左平移，平移后的抛物线记为，的顶点为，当点关于点成中心对称时，求的解析式；

（3）如图2，点是轴负半轴上一动点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线．抛物线的顶点为，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点的坐标．

解：（1）旋转后的图象解析式为．  ………………………  1分

（2）由旋转可得（4，-1）、（1，-4）．  …………………………  3分

（3）依题意，可知．若为直角三角形，则同时也是等腰三角形，因此，只需求使为直角三角形的值．

分两种情况讨论：

①当是直角，时，如图1，

∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N=MN=t，

∴B′M=8-t，

∵，

∴．  …………  4分

解得  （舍去负值），

∴．  ………………  5分

②当是直角，时，

如图2，

∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N=t，

∴B′M=MN=8-t，

∵，

∴，

解得  ．

∵，，

∴此时t值不存在．  ……………  6分

（此类情况不计算，通过画图说明t值不存在也可以）

综上所述，当时，为等腰直角三角形．  ………………  7分

在平面直角坐标系中，A、B为反比例函数的图象上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将的图象绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为，B点的对应点为．

（1）求旋转后的图象解析式；

（2）求、点的坐标；

（3）连结．动点从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，试探究：是否存在使为等腰直角三角形的值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

解：（1）OA=1，OC=2

则A点坐标为（0，1），C点坐标为（2，0）

设直线AC的解析式为y=kx+b

解得

直线AC的解析式为··················· 2分

（2）或

（正确一个得2分）························· 8分

（3）如图，设

过点作于F

由折叠知

或2··········· 10分

如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，，，点在边上且．

（1）求直线的解析式．

（2）在轴上是否存在点，直线与矩形对角线交于点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）抛物线经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点和点（点在轴正半轴上），且沿折叠后点落在边上处？

解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图①，过作交于点，则四边形是平行四边形．

∵，．

∴．

∴．

∴ ．解得．  5分

（2）分三种情况讨论：

① 当时，如图②作交于，则有即．

∵，

∴，

∴，

解得． 6分

② 当时，如图③，过作于H．

则，

∴．

∴．7分

③ 当时，如图④．

则．

．      -------------------------------------8分

综上所述，当、或时，为等腰三角形．

如图，在梯形中，，，，，梯形的高为．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为（秒）．

（1）当时，求的值；

（2）试探究：为何值时，为等腰三角形．

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