如图，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P是AD边上的一动点(P异于A、D)，Q是BC边上的任意一点．连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．

(1)求证：△APE∽△ADQ；

(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积S_△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S_△PEF取得最大值？最大值为多少？

(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？(须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明)

如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A(3，0)，B(0，)两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D．

(1)求直线AB的解析式；

(2)若S_梯形OBCD＝，求点C的坐标；

(3)在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC∶CA＝4∶3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．

(1)当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；

(2)当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长；

(3)当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．

如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．

(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？(取＝7)

(3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？(取＝5)

如图，抛物线y＝ax²－8ax＋12a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角，且恰使△OCA∽△OBC．

(1)求线段OC的长．

(2)求该抛物线的函数关系式．

(3)在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在直角坐标系xOy中，O为原点．点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠OAB＝2．二次函数y＝x²＋mx＋2的图象经过点A，B，顶点为D．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置．将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C．请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式；

(3)设(2)中平移后所得二次函数图象与y轴的交点为B₁，顶点为D₁．点P在平移后的二次函数图象上，且满足△PBB₁的面积是△PDD₁面积的2倍，求点P的坐标．

如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角，得到矩形CFED．设FC与AB交于点H，且A(0，4)，C(6，0)，(如图1)．

(1)当α＝60°时，△CBD的形状是________；

(2)当AH＝HC时，求直线FC的解析式；

(3)当α＝90°时，(如图2)．请探究：经过点D，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形CFED的对称中心M，并说明理由．

如图，A，B，D，E四点在圆O上，AE，BD的延长线相交于点C，直径AE为8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．

(1)求证：；

(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围．

已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y＝kx＋1的图象与二次函数的图象交于A，B两点(A在B的左侧)，且A点坐标为(－4，4)．平行于x轴的直线l过(0，－1)点．

(1)求一次函数与二次函数的解析式；

(2)判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；

(3)把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位(t＞0)，二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，N，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝3．

(1)在AB边上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求点D，E的坐标；

(2)若过点D，E的抛物线与x轴相交于点F(－5，0)，求抛物线的解析式和对称轴方程；

(3)若(2)中的抛物线与y轴交于点H，在抛物线上是否存在点P，使△PFH的内心在坐标轴上？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

(4)若(2)中的抛物线与y轴相交于点H，点Q在线段OD上移动，作直线HQ，当点Q移动到什么位置时，O，D两点到直线HQ的距离之和最大？请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式．