如下图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，O是对角线BD的中点，点P在边AB上，联结PO并延长，交边CD于点E，交边BC的延长线于点Q．

(1)求证：OP＝OE；

(2)设BP＝x，CQ＝y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)试判断△CQE能否成为等腰直角三角形，如果能，请求出x的值；如果不能，请说明理由．

已知二次函数的图象如下图所示．

(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；

(2)若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时(点N不与点B，点M重合)，设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)将△OAC补成矩形，使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程)．

已知：如下图所示，直线l的解析式为，并且与x轴、y轴分别相交于点A、B．

(1)求A、B两点的坐标．

(2)一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位／每秒的速度向x轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线l相切；

(3)在题(2)中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以0.5个单位／秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的园面(圆上和圆的内部)上一共运动了多出时间？

如下图甲，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8 cm，矩形ABCD的长和宽分别为8 cm和2 cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上．令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1 cm的速度移动(如图乙)，直到C点与N点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y cm²．求y与x之间的函数关系式．

已知：如下图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为t(秒)．

(1)当时间t为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积(图中的阴影部分)等于2厘米²；

(2)当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S(厘米²)，求出S与时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；

(3)点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．

如下图，在平行四边形ABCD中，AD＝4 cm，∠A＝60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．

(1)当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；

(2)当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm²．

①求S关于t的函数关系式；

②(附加题)求S的最大值．

如下图，在Rt△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4 cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1 cm/s；点P沿CA、AB向终点B运动，速度为2 cm/s，设它们运动的时间为x(s)．

(1)求x为何值时，PQ⊥AC；

(2)设△PQD的面积为y(cm²)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；

(3)当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；

(4)探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系．请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)

如下图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，Ð B＝90°，AB＝12 cm，BC＝8 cm，DC＝13 cm，动点P沿A→D→C线路以2 cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1 cm/秒的速度向C运动．P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止．设运动时间为t秒，△PQB的面积为ym²．

(1)求AD的长及t的取值范围；

(2)当1.5≤t≤t₀(t₀为(1)中t的最大值)时，求y关于t的函数关系式；

(3)请具体描述：在动点P、Q的运动过程中，△PQB的面积随着t的变化而变化的规律．

如下图，在矩形ABCD中，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t秒(0＜t＜5)后，四边形ABQP的面积为S米²．

(1)求面积S与时间t的关系式；

(2)在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由．

分析：本题是一个动态几何问题，也是一个数形结合的典型问题，综合性较强．

如下图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，点O、E分别是AD、AB的中点，点F是以点O为圆心、OE的长为半径的圆弧与DC的交点，点P是上的动点，连结OP，并延长交直线BC于点K．

(1)当点P从点E沿运动到点F时，点K运动了多少个单位长度？

(2)过点P作所在圆的切线，当该切线不与BC平行时，设它与射线AB、直线BC分别交于点M、G．

①当K与B重合时，BG∶BM的值是多少？

②在点P运动的过程中，是否存在BG∶BM＝3的情况？你若认为存在，请求出BK的值；你若认为不存在，试说明其中的理由．

一般地，是否存在BG∶BM＝n(n为正整数)的情况？试提出你的猜想(不要求证明)．